Классификация отказов, параметры надежности

       
 

       

      P₃₁ = 1 –(1 – P₂)(1 – P₂₂) ==>

     P = (P₁₁ · P₃₁ · P₁₀)

      На выходе получается тот же сигнал большинство  которых Р₀. Если Р_Р0 =1 то: получим две схемы. 
 
 
 
 
 
 

     

     Не  все схемы надежности можно представить  в виде комбинации последовательной и параллельной. Поэтому для расчета схем используют приближенные методы.

     

     Метод минимальных путей  и сечений. 

     Минимальным путем  называется такой j - минимальный путь, который состоит из min совокупности m подсистем, необходимый для безотказной работы системы независимо от состояния остальных подсистем.

     В структуре системы  есть несколько min путей. Характерным признаком min пути является то, что отказ хотя бы одной подсистемы (если работоспособна только подсистема одного пути) влечет за собой отказ системы. 
 
 

     Минимальное сечение это такое сечение  k – min сечения, которое состоит из минимальной совокупности подсистемы N_k, чей одновременный отказ влечет за собой отказ системы независимо от состояния остальных подсистем.

     Характерный сбой min сечения является то, что восстановлен хотя бы первая подсистема в min сечении (если остальные подсистемы работают) влечет за собой восстановление подсистемы.

     Min сечения: 513, 524, 5164.

     По  методу min путей и сечений можно получить только оценки P_H и Р_В т.е. вероятности безотказной работы системы соответствует снизу и сверху

     Р_Н £ Р_С £ Р_В.

     Вероятность Р_Н выражается как вероятность безотказной работы вспомогательной системы, составленной из последней включенной группы подсистем соответственно min сечениями системы.

     Каждая  группа состоит  параллельно включенных подсистем соответственно min сечения. Вероятность выражений, как вероятность безотказной работы вспомогательных систем, составленной из последней включенной  группы подсистем соответственно, если min путям системы.

     Каждая  группа состоит из последовательных включенных подсистем соответственного минимального пути. 

      Эквивалентная схема min пути

      по критерию работоспособности.

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Минимальный путь определяет Р_В, минимального сечения – Р_Н.

       

     

       
 
 
 

       
 
 
 
 

     Р_Н = [1 – (1 – P)²] [1 – (1 – P)³]² » 0,97814 Если Р = 0,9. 
 
 
 
 

     

       
 
 
 
 
 
 

     Методы  исключения элементов. 

       

       

       
 

     Сущность  этого метода заключается в том, из структурной схемы выбрасывается 1 или несколько элементов и затем производится расчет показателя надежности для 2-х крайних случаев. В одном случае предполагается, что выбрасываемые элементы надежны (Р = 1), во 2 – м не надежны (Р = 0).

     В 1 – м случае 2 – е точки схемы, к которым подключены элементы, которые  соединяются постоянной связью, во втором связь м/д этими точками отсутствует.

     Для этих двух вырожденных структур определить вероятность безотказной работы соответствует P_max и P_min, затем определяем взвешенность значений вероятности безотказной работы исключаемых элементов: P_i – вероятность безотказной работы i – го элемента. n – число исключенных элементов.

     Окончательная вероятность безотказной работы структурной схемы определяется по следующим формулам:

     (надежность  системы) Р_С = Р_min + (P_max – P_min) P_ср.

     Если  Р_ср = 1(надежный элемент), то Р_с = Р_max

     Если  Р_ср = 0(не надежный элемент), то Р_с = Р_mix

       
 
 
 
 
 
 
 

       
 
 
 

     Логико-вероятностный  метод.

     Он  состоит из представления состояния  каждого компонента изделия в  виде булевой переменной. Одни компоненты работоспособны, а другие в состоянии отказа. 
 

     Для работоспособного изделия в целом  строится таблица истинности, которая  состоит из 2ⁿ строк, где n – число компонентов изделия. Из таблицы истинности записывается булевская функция работоспособности в СДНФ.

     Следующим этапом является переход (запись булевской  функции как вероятностную), т.е. из СДНФ можно перейти к вероятностной. .

     Существуют  несколько форм преобразования форм функции из СДНФ  либо ОДНФ (нормальная ортогональная дизъюнктивная форма), либо в ДНФ. Из этих форм можно сразу переходить к вероятностям.

     ОДНФ  является такой формой ДНФ, члены  которой попарно ортогональны.  Каждую пару элементарной конъюнкции z_i и z_j всегда входят некоторые х_а, причем в одну из конечных инверсий, а в другую без инверсий.

      ОДНФ: u(х) = х₁х₂ v х₁х₂х₃ v х₁х₂х₄  не ОДНФ: u(х) = х₁х₂ v х₁х₃х₄ Повторной формой булевой функции называется такое ее представление, когда элементарная конъюнкция булевской функции не содержит одноименных переменных.

      Функция u(х) = (х₁х₂vх₃)х₄vх₅ задана дизъюнктивной бесповторной формой. Используя правило Де Моргана можно получить конъюнктивной бесповоротной формы:

      u(х) = х₁х₂х₃х₄х₅.

     Логико-вероятностный  метод является точным методом оценки надежности в отличии от графического. 

     Логико-вероятностный  метод.

     

       
 
 
 
 
 
 
 

 
 

                                     
 

     Методы  расчета надежности для систем с восстановлением. 

     Метод расчета надежности с использованием теории Марковских процессов.

     Пусть имеется некоторая система s. Говорят, что в  s происходит случайный процесс, если он к стечением времени под влиянием случайных факторов (например, отказов и восстановлений отдельных компонентов) переходит из одного состояния в другое. 

     Такая система называется с дискретным состоянием, если она имеет конечное количество возможных состояний  и переход из одного состояния  в другое осуществляется скачком. Для  описания случайного процесса, проистекающего в системе пользователя вероятностями состояний Р₀(t), P₁(t) …P_k(t) где P_i(t) (i=0,…k) – вероятность того, что система в момент t находится в состоянии s_i.

     Случайный процесс, протекающий в s называется процессом в дискретном времени, если переходы из одного состояния возможны в определенные периоды времени. Если переходы возможны в любой момент времени, то процесс называется непрерывным.

     Случайный процесс называется Марковским (если процесс без последствия) если все  Р. процесса в будущем зависят  от того, в котором состоянии находится процесс настоящем, и не зависят от того, каким образом этот процесс протекал в прошлом.

     Марковский  процесс представляет собой Марковскую цепь с k – различным  состоянием и может быть предоставлен матрицей значений переходных вероятностей.

     

     Марковская  цепь в состоянии i на очередном шаге перейдет в состояние j. Переход вероятности  не зависит от номера шага, т.е. процесс перехода стационарен во времени то есть Марковская цепь является дискретным случайным процессом с дискретным временем из которого переход осуществляется через некоторый интервал времени D t из одного состояния в другое счетное число состояний. Длительность пребывания в состоянии s_i является случайной величиной для которого F_k(t) состояний. Все распределения F_k(t) подчинены экспоненциальному закону.

     Марковский  процесс обладает характерными свойствами, определенными в первую очередь экспоненциальными распределениями времени пребывания в каждом состоянии.

1. Марковский процесс обладает свойством стационарного перехода в другую вероятность и длительность пребывания в том или ином состоянии не зависит от того в какой момент времени рассматривается этот процесс.
2. Свойство оригинальности - за бесконечный промежуток времени не может произойти более одного перехода из одноного состояния в другое.
3. Обладает свойством последствия.

     Марковский  процесс удобно описывать ориентировочно графом переходов вершины которого, представляют собой состояние, а) веса ребер соответствующих интенсивности перехода из одного состояния в другое. Зная переходную вероятность P_ij и параметр l_i распределение времени пребывания процесса в i состоянии можно легко найти веса по формуле: l_ij = P_ij · l_i.

     Если  при описании процесса перехода система  из одного состояния в состояние  сохраняет Марковское  свойство, то пребывание F_k(t) подчиняется произвольному, не экспоненциальному закону, то такой процесс называется полумарковским или неоднородным Марковским процессом.