Контрольная работа по «Статистика»

66a₀ + 506a₁  = 26700.

Из первого уравнения  выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = 27, a₁ = 197.55

Уравнение тренда:

y = 27 t + 197.55

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 27 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 27.

Коэффициент детерминации.

 

 

т.е. в 87.85% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

t	y	y(t)	(y-ycp)2	(y-y(t))2	(t-tp)2	(y-y(t)) : y
1	184	224.55	30816.21	1643.93	25	0.22
2	242	251.55	13816.93	91.12	16	0.0394
3	295	278.55	4166.12	270.75	9	0.0558
4	323	305.55	1335.57	304.66	4	0.054
5	341	332.55	343.93	71.48	1	0.0248
6	410	359.55	2545.66	2545.66	0	0.12
7	403	386.55	1888.3	270.75	1	0.0408
8	422	413.55	3900.57	71.48	4	0.02
9	381	440.55	460.3	3545.66	9	0.16
10	430	467.55	4963.84	1409.66	16	0.0873
11	524	494.55	27045.3	867.57	25	0.0562
66	3955	3955	91282.73	11092.73	110	0.88

 

 

2. Экспоненциальное уравнение тренда имеет вид y = a e^bt (ln y=ln a+bt)

Находим параметры уравнения  методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² = ∑y•t

t	ln(y)	t2	y2	t•y
1	5.21	1	27.2	5.21
2	5.49	4	30.13	10.98
3	5.69	9	32.34	17.06
4	5.78	16	33.38	23.11
5	5.83	25	34.01	29.16
6	6.02	36	36.19	36.1
7	6	49	35.99	41.99
8	6.05	64	36.54	48.36
9	5.94	81	35.32	53.49
10	6.06	100	36.77	60.64
11	6.26	121	39.21	68.88
66	64.33	506	377.07	394.97

 

Для наших данных система  уравнений имеет вид:

11a₀ + 66a₁ = 64.33

66a₀ + 506a₁  = 394.97

Из первого уравнения  выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = 0.0818, a₁ = 5.36

Уравнение тренда:

y = 212.1e^0.0818t

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 0.0818 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 0.0818.

Индекс детерминации.

 

 

т.е. в 84.01% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

t	ln(y)	y(t)	(y-ycp)2	(y-y(t))2	(t-tp)2	(y-y(t)) : y
1	5.21	5.44	0.4	0.0501	25	0.0429
2	5.49	5.52	0.13	0.001	16	0.00579
3	5.69	5.6	0.0259	0.0071	9	0.0148
4	5.78	5.68	0.0049	0.0086	4	0.0161
5	5.83	5.77	0.0002	0.0043	1	0.0113
6	6.02	5.85	0.0282	0.0282	0	0.0279
7	6	5.93	0.0227	0.0047	1	0.0115
8	6.05	6.01	0.0387	0.0011	4	0.00551
9	5.94	6.09	0.0089	0.0227	9	0.0254
10	6.06	6.18	0.0465	0.0124	16	0.0184
11	6.26	6.26	0.17	0	25	0.000685
66	64.33	64.33	0.88	0.14	110	0.18

 

3. Уравнение тренда имеет вид y = at² + bt + c .

Находим параметры уравнения  методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑t + a₂∑t² = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² + a₂∑t³ = ∑yt

a₀∑t² + a₁∑t³ + a₂∑t⁴ = ∑yt²

t	y	t2	y2	t•y	t3	t4	t2 y
1	184	1	33856	184	1	1	184
2	242	4	58564	484	8	16	968
3	295	9	87025	885	27	81	2655
4	323	16	104329	1292	64	256	5168
5	341	25	116281	1705	125	625	8525
6	410	36	168100	2460	216	1296	14760
7	403	49	162409	2821	343	2401	19747
8	422	64	178084	3376	512	4096	27008
9	381	81	145161	3429	729	6561	30861
10	430	100	184900	4300	1000	10000	43000
11	524	121	274576	5764	1331	14641	63404
66	3955	506	1513285	26700	4356	39974	216280

 

Для наших данных система  уравнений имеет вид 

11a₀ + 66a₁ + 506a₂ = 3955

66a₀ + 506a₁ + 4356a₂ = 26700

506a₀ + 4356a₁ + 39974a₂ = 216280

Получаем a₀ = -1.5, a₁ = 45.04, a₂ = 158.45

Уравнение тренда:

y = -1.5t²+45.04t+158.45

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Индекс детерминации.

 

 

т.е. в 89.97% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

t	y	y(t)	(y-ycp)2	(y-y(t))2	(t-tp)2	(y-y(t)) : y
1	184	201.99	30816.21	323.75	25	0.0978
2	242	242.52	13816.93	0.28	16	0.00217
3	295	280.05	4166.12	223.53	9	0.0507
4	323	314.57	1335.57	71.13	4	0.0261
5	341	346.08	343.93	25.78	1	0.0149
6	410	374.58	2545.66	1254.55	0	0.0864
7	403	400.08	1888.3	8.54	1	0.00725
8	422	422.57	3900.57	0.32	4	0.00134
9	381	442.05	460.3	3726.97	9	0.16
10	430	458.52	4963.84	813.65	16	0.0663
11	524	471.99	27045.3	2704.73	25	0.0992
66	3955	3955	91282.73	9153.22	110	0.61