Автор: Пользователь скрыл имя, 10 Марта 2013 в 14:57, курсовая работа
Цель курсовой работы заключается в приобретении навыков постановки эксперимента, определения исследуемых факторов и области планирования эксперимента, составления матриц планирования полного и дробного факторного эксперимента, расчета коэффициентов регрессии. При выполнении курсовой работы необходимо научиться работать с математическими моделями, использовать статистические критерии для оценки однородности, нормальности экспериментальных данных, значимости коэффициентов и адекватности полученной математической модели.
Выполнение курсовой работы будет способствовать закреплению знаний в области применения методов планирования эксперимента для исследования конструкций, систем, технологических процессов и их оптимизации.
(– 1) + (+1) + (- 1) + (+ 1) = 0.
Аналогичный результат получается для всех других столбцов.
Второе свойство– также выполняется для обеих матриц.
С третьим свойством, однако, дело обстоит иначе. Если для матрицы а) формула ортогональности выполняется, то в случае б) это не так. Действительно (–1) (+ 1) + (+ 1) (– 1) + (– 1) (+ 1) + (+1)(–1) = –4≠0.
2.5 Полный факторный эксперимент и математическая модель
Рассмотрим матрицу 23. Для движения к точке оптимума нам нужна линейная модель у = b0 + b1x1+ b2х2. Наша цель – найти по результатам эксперимента значения неизвестных коэффициентов модели. Эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная модель адекватна. Греческие буквы использованы для обозначения «истинных» генеральных значений соответствующих неизвестных. Эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет только получить выборочные оценки для коэффициентов уравнения
у = b0 + b1x1 + … + bkхk (7)
где k-номер фактора, число факторов.
Коэффициент вычисляется по формуле:
, (8)
где j=0,1,2…k
Для подсчета коэффициента b1 используется вектор-столбец х1 а для b2 – столбец х2. Если наше уравнение у = b0 + b1x1+ b2х2 справедливо, то оно верно и для средних арифметических значений переменных: = b0 + b1 1+ b2 2. Но в силу свойства симметрии 1 = 2 = 0. Следовательно, = b0.
Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину параметра оптимизации при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний.
Бывает, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае говорят, что имеет место взаимодействие двух факторов х1 и х2.[2]
3 Дробный факторный эксперимент
3.1 Минимизация числа опытов. Дробная реплика
При большом числе факторов проведение полного факторного эксперимента связано с большим числом опытов. Если при получении модели можно ограничиться лишь линейным приближением, то число опытов можно резко сократить в результате использования дробного факторного эксперимента.
В ПФЭ 22 при линейном приближении коэффициент регрессии b12 можно принять равным нулю, а столбец х1х2 матрицы использовать для третьего фактора х3: y=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2.
Таблица 1 – Матрица планирования 22
|
Номер опыта |
х0 |
х1 |
х2 |
х1х2 |
у |
1 |
++1 |
–+1 |
–+1 |
++1 |
у1 |
|
2 |
++1 |
+-1 |
–+1 |
–-1 |
у2 |
|
3 |
++1 |
–+1 |
+-1 |
–-1 |
у3 |
|
4 |
++1 |
+-1 |
+-1 |
++1 |
у4 |
При замене х1х2 на х3 получим следующее уравнение:
y=b0+b1x1+b2x2+b3х3
Для определения коэффициентов последнего уравнения достаточно провести четыре опыта вместо восьми в ПФЭ типа 23
Полуреплика – план эксперимента предусматривающий реализацию половины опытов ПФЭ.[3]
При увеличении числа опытов к>3, возможно применение реплик большой дробности.
Дробная реплика – план эксперимента, являющийся частью плана ПФЭ.
Дробные реплики обозначают выражением 2к-р, где р – число линейных эффектов приравненных к эффектам взаимодействия.
При р=1 получают полуреплику, при р=2 получают 1/4 реплику, при р=3 – 1/8 реплику и так далее по степеням двойки.
Таблица 2 – Матрица ПФЭ типа 23
|
Номер опыта |
Х0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х1Х2 |
Х2Х3 |
Х1Х3 |
Х1Х2Х3 |
у |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
У1 |
|
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
У2 |
|
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
У3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
У4 |
|
5 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
У5 |
|
6 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
У6 |
|
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
У7 |
|
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
У8 |
Если в ПФЭ 23 один из эффектов взаимодействия заменить (х1х2; х2х3; х1х3) четвертым фактором х4, то получим полуреплику 24-1 от ПФЭ 24.
Если два эффекта взаимодействия заменить факторами х4 и х5, то получим 1/4 реплику 25-2 от ПФЭ 25.
Если три эффекта взаимодействия заменить факторами х4; х5; х6, то получим 1/8 реплику 26-3 от ПФЭ 26.
Если четыре эффекта взаимодействия заменить факторами х4; х5; х6; х7, то получим 1/16 реплику 27-4 от ПФЭ 27.
В связи с тем, что в дробных репликах часть взаимодействий заменена новыми факторами, найденные коэффициенты уравнения регрессии будут являться совместными оценками линейных эффектов и эффектов взаимодействия. При рассмотрении таблицы 1 видно, что х1х3 совпадает с х2, х2х3 с х1, отсюда следует, что коэффициенты b1; b2; b3 будут оценками совместных эффектов:
b1→β1+β23; b2→β2+β13; b3→β3+β12.
Влияние фактора х1 характеризуется величиной β1, а влияние взаимодействия величиной β23.
Смешанными называют оценки в которых невозможно разделить линейный эффект и эффект взаимодействия.
Число не смешанных линейных эффектов в дробной реплике называют её разрешающей способностью. Прямая оценка разрешающей способности дробных реплик затруднена, поэтому обычно дробные реплики задают с помощью генерирующих соотношений.
Генерирующим называют соотношение, которое показывает, какое из взаимодействий принято незначимым и заменено новым фактором.[3]
3.2 Генерирующие соотношения и определяющие контрасты
При построении полуреплики 23 существует всего две возможности: приравнять х3 к +х1х2 или к – х1х2. Поэтому есть только две полуреплики 23–1.
Таблица 3 – Матрица планирования 23-1
|
Номер опыта |
I: x3=x1x2 |
II: x3=–x1x2 | ||||||
|
x1 |
x2 |
x3 |
x1x2x3 |
x1 |
x2 |
x3 |
–x1x2x3 | |
|
1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
2 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
3 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
Для произведения трех столбцов матрицы I выполняется соотношение: +l=x1x2x3, а матрицы II: –1= x1x2x3. Вы видите, что все знаки столбцов произведений одинаковы и в первом случае равны плюс единице, а во втором – минус единице.
Символическое обозначение произведения столбцов, равного +1 или –1, называется определяющим контрастом. Контраст помогает определять смешанные эффекты. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, для первой полуреплики определяющий контраст 1=x1x2x3, помогает вычислить генерирующие соотношения: x1=x12x2x3, так как xj2=1, получим x1=x2x3, аналогично x2= x1x22x3=x1x3 и x3= x1x2x32=x1x2.
Для второй полуреплики с помощью определяющего контраста –1=x1x2x3 будем иметь другие генерирующие соотношения: x1=–x12x2x3=–x2x3; x2=–x1x22x3=–x1x3; x3=–x1x2x32=–x1x2.
Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.
Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Такие планы принято обозначать: .
Реплики, имеющие максимальную разрешающую способность, называют главными. [3]
3.3 Выбор 1/4-реплик
При исследовании влияния пяти факторов можно поставить не 16 опытов, как в предыдущем примере, а только 8, т.е. воспользоваться репликой 25–2. Здесь возможны двенадцать решений, если x4 приравнять парному взаимодействию, а х5 – тройному:
Допустим, выбран пятый вариант: x4= x1x3 и x5= x1x2x3. Тогда определяющими контрастами являются: l=x1x3x4 и 1=x1x2x3x5.
Если перемножить эти
Система смешивания определяется умножением обобщающего определяющего контраста последовательно на х1, х2, х3 и т. д.
x1= x3x4= x1x2x4x5= x2x3x5;
x2 = x1x2x3x4= x4x5= x1x3x5;
x3= x1x4= x2x3x4x5= x1x2x5;
x4= x1x3= x2x5= x1x2x3x4x5;
x5= x1x3x4x5= x2x4= x1x2x3;
x1x2= x2x3x4= x1x4x5= x3x5;
x1x5= x3x4x5= x1x2x4= x2x3.
Получается довольно сложная система смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия первого, второго, третьего и четвертого порядков. Если, например, коэффициенты b12 и b15 отличны от нуля, то возникают сомнения, можно ли пренебрегать другими парными взаимодействиями, с которыми смешаны линейные эффекты. Тогда следует поставить вторую серию опытов, выбрав нужным образом другую 1/4-реплику.
При этом можно воспользоваться методом «перевала». Смысл этого метода заключается в том, что вторая четверть-реплика получается из первой путем изменения всех знаков матрицы на обратные. Тогда в обобщающем определяющем контрасте тройные произведения имеют знак, противоположный их знаку в первой четверть-реплике. Тройные произведения определяют парные взаимодействия в совместных оценках для линейных эффектов. Усредняя результаты обеих четверть-реплик, можно получить линейные эффекты, не смешанные с парными взаимодействиями. [4]
4 Практическая часть
4.1 Задание 1 – Применение ПФЭ
Сопротивление деформации алюминиевого сплава 1915 в наибольшей степени зависит от: