Введение в физику

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования 

ТУЛЬСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

Кафедра физики 
 
 

Конспект  по дисциплине «Введение в физику» 
 
 

     Выполнил  студент гр.660702с__________Усков Д.А.

Принял:__________________                     Левин Д.М. 
 
 
 
 
 

Тула 2012

Равенство векторов.

Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют  равные модули.

Иначе, .

Равные  векторы можно обозначать одной  буквой (с чертой или со стрелкой): . В этом случае говорят, что вектор ā отложен от точки А. Если , то говорят, что вектор ā отложен от точки С. Таким образом, любой вектор можно отложить от любой точки пространства S.

Замечание. На самом деле, понятие равенства  векторов расширяет само понятие  вектора. Если первоначально под  вектором мы понимали упорядоченную  пару точек пространства S, т.е. направленный отрезок, то теперь под вектором мы будем понимать множество  всех направленных отрезков, сонаправленных друг с другом и имеющих одинаковую длину. Если один и тот же вектор отложить от двух различных точек, например, , то направленный отрезок   можно совместить с направленным отрезком    с помощью параллельного переноса. Часто направленные отрезки и   называются представителями одного и того же вектора ā.

Сложение  векторов.

Сложение  двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника. 

Правило треугольника. Для сложения двух векторов  и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов  и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

 
 

А модуль (длину) вектора суммы |u+v| = u+v  определяют по теореме косинусов 

|u+v| = sqrt(|u|² + |v|² - 2*|u|*|v|*cos a) 

где a —  угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого. Так же используется формула 

|u+v| = sqrt(|u|² + |v|² + 2*|u|*|v|*cos a) 

теперь a — угол между векторами, выходящими из одной точки.

Сложение  двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых  они расположены, пересекаются. Тогда  каждый из векторов переносится вдоль  своей прямой в точку пересечения  этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение  двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют  общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма. 

Умножение вектора на скаляр 

Умножение вектора а на скаляр m даёт вектор, модуль которого в m раз отличается от модуля вектора а, и направленный в сторону а, если m > 0 и в противоположную, если m < 0. Символически эта операция записывается в виде равенства, например, 

с = ma. 

 Рисунок 1 иллюстрирует эту операцию.

                                     
 

Рис.1 

 Рассматриваемая  операция удовлетворяет соотношению 

m (a + b) = ma + mb. 

 В  этом случае говорят, что умножение  вектора на скаляр дистрибутивно,  то есть для него выполняется  распределительный закон.  

 В  векторной алгебре рассматривается  не только умножение вектора  на скаляр, но и умножение векторов. Следует иметь в виду, что возможны  различные способы умножения  векторов. Из всего многообразия  этих способов мы рассмотрим  только два, поскольку они чаще  других применяются при изучении  физических явлений. 

Разность  двух векторов 

Разность  двух векторов и называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор . Если два вектора и приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца («вычитаемого») к концу («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом . Легко видеть, что . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

 

Произведение  векторов

Векторным произведением вектора  на вектор в пространстве называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ; между ними

• вектор  ортогонален каждому из векторов и
• вектор  направлен так, что тройка векторов  является правой.
• в случае пространства требуется ассоциативность тройки векторов  .

Обозначение:

Скалярное произведение

Скалярным произведением в векторном пространстве над полем называется функция для элементов , принимающая значения в , определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство (линейность скалярного произведения по первому аргументу);

для любых  и справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);

для любого имеем , причем только при (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное  линейное пространство со скалярным  произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

 

Векторы в декартовой системе  координат

Пусть в пространстве задана точка O и три  некомпланарных вектора .

Декартовой  системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих  из этой точки.

Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат  в направлении базисных векторов, называются осями координат –  осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси  координат, называют координатными  плоскостями.

Рассмотрим  в выбранной системе координат  произвольную точку M. Введём понятие  координаты точки M. Вектор , соединяющий начало координат с точкой M. называется радиус-вектором точки M.

Вектору  в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: .

Координаты  радиус-вектора точки M. называются координатами точки M. в рассматриваемой  системе координат. M(x,y,z). Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой.

Аналогично  определяются, декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату.

Легко видеть, что при заданной системе  координат каждая точка имеет  определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел  найдётся единственная точка, имеющая  эти числа в качестве координат.

Если  векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно  перпендикулярны, то система координат  называется декартовой прямоугольной  системой координат. В этом случае основные векторы принято обозначать буквами  , а оси координат Ox, Oy и Oz.

Таким образом, любой вектор в декартовой прямоугольной системе координат  можно записать в виде: .

 

Таблица основных неопределенных интегралов

 

Таблица производных простейших элементарных функций

Элементарные  функции — это все, что перечислено  ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что  заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные  элементарных функций:

 

Кинематика  поступательного  и вращательного  движения

УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ УСКОРЕНИЯ И ИХ СВЯЗЬ  С ЛИНЕЙНОЙ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором  любая прямая жестко связанная с  телом перемещается параллельно  самой себе.

Все точки  тела движущегося поступательно  в каждый момент времени имеют  одинаковые скорости и ускорения, а  их траектории полностью совмещаются  при параллельном переносе, поэтому  кинематическое рассмотрение поступательного  движения абсолютно твердого тела сводится к изучению движения любой его  точки. В самом общем случае поступательно  движущееся тело обладает тремя степенями  свободы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Движение абсолютно твердого тела, при котором две его точки A и B остаются неподвижными, называется вращением, или вращательным движением  вокруг неподвижной прямой AB, называемой осью вращения.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси  все его точки описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны  ей. Тело, вращающееся вокруг неподвижной  оси, обладает одной степенью свободы. Его положение определяется заданием угла φ поворота из некоторого начального положения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Угловой скоростью вращения абсолютно  твердого тела называется вектор , численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения таким образом, чтобы он совпадал по направлению с поступательным движением Буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом.

Линейная  скорость определяется по формуле Эйлера:

Наряду  с угловой скоростью вращения тела пользуются понятиями периода  и частоты вращения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Периодом вращения называется промежуток времени в течение которого тело, вращаясь с угловой скоростью ω, совершает один полный оборот. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частотой вращения называется число  оборотов, совершаемых телом за 1 секунду при равномерном вращении с угловой скоростью ω. 

В связи  с этим:

Угловым ускорением называется вектор ε равный первой производной по времени от угловой скорости или второй производной  от угла поворота:

При вращении тела вокруг неподвижной оси изменения  вектора ω обусловлены изменениями  его численного значения. 

Вектор  ε направлен вдоль оси вращения, в ту же сторону что и вектор ω при  при  движении равноускоренном и – в противоположную сторону при движении равнозамедленном.

Запишем функцию, связывающую угловые величины с линейными:

При равномерном  вращении ε = 0, ω = const, φ = φ0±ωt.

При равнопеременном  движении