Фононы в наноструктурах

 
 

Курсовая  научно-исследовательская  работа

на тему: 

«Фононы в наноструктурах». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва 2004 г.

 

    

    Введение: Квант-фонон 

    Если  вывести любой атом из положения  равновесия, то возмущение будет распространяться по телу со скоростью звука. Стало быть, тепловое движение в твердом теле можно рассматривать как распространение звуковых волн.

    Колебания связанных в кристаллической  решетке атомов твердых тел могут  быть представлены совокупностью независимых  упругих волн с волновым вектором k и частотой w(k), распространяющихся по объему кристалла. Это так называемые нормальные колебания решетки кристалла. С механической точки зрения любое нормальное колебание представляет собой гармонический осциллятор с энергией:

e(k)= w(k)[n(k)+1/2],         n(k)=0,1,2,.......,                      (1)

который можно  рассматривать как совокупность n(k) квантов энергии  w(k) плюс энергия основного состояния (1/2) w(k). Указанные кванты звуковой энергии (частицы звука), представляющие собой наименьшую порцию энергии возбуждения над основным уровнем, называются фононами. Таким образом, фононы являются квазичастицами с энергией e= w(k) и импульсом p= k, соответствующим ( в силу принципа корпускулярно-волнового дуализма ) гармоническим волнам с частотой w и волновым вектором k.

    Настоящую материализованную частицу (например, фотон) можно было бы изъять из кристалла (пример - свечение светодиода) и поселить где-нибудь в ином месте, например в ином кристалле. Фонон из кристалла "вынуть" нельзя, ведь фонон - это движение атомов кристалла.

    С этой точки зрения твердое тело можно  уподобить ящику, заполненному фононным газом - газом квазичастиц. Фононы, как частицы обычного газа, движутся от стенки к стенке, сталкиваясь друг с другом и с электронами. Здесь обнаруживается связь между электрическим сопротивлением и колебаниями атомов. Электроны рассеиваются на фононах, возбуждаемых при тепловом движении кристаллической решетки. Фононов тем больше, чем интенсивнее тепловое движение атомов, то есть чем выше температура. Следовательно, если сопротивление движению е^- вызвано столкновением электронов с фононами, то оно также должно быть пропорционально температуре. Но это справедливо только при достаточно высоких T ⁰К. Ведь по смыслу квантовой теории число фононов не может быть меньше единицы. Для определения числа фононов в твердом теле используют температуру Дебая Q.

    Кристаллов  с идеальным правильным строением  в природе не существует. Отклонение от регулярного расположения частиц принято называть дефектами структуры. Их условно подразделяют на динамические (временные) и статические (постоянные).

    Динамические  дефекты возникают при механических, тепловых и электромагнитных воздействиях на кристалл, при прохождении через него потока частиц высокой энергии и т.п. Наиболее распространенным видом динамических дефектов и можно считать фононы - временные искажения регулярности решетки, вызванные тепловым движением атомов.

    Рассмотрим распространение упругих волн (движение фононов) в кристаллах, примитивная ячейка которых содержит один атом.

    Наиболее  простое математическое описание колебаний  кубической решетки может быть дано, когда колебание является чисто продольным, или чисто поперечным. При этом все атомы в атомных плоскостях смещаются как единое целое в направлении, параллельном вектору распространения колебания k (продольное колебание), или перпендикулярном ему (поперечное колебание) (Рис.1).

Рис.1. Смещение атомных плоскостей при прохождении  продольных (а) и поперечных (б) волн колебаний.

Зависимость  w(k) представляет собой периодическую функцию с периодом 2p/a (рис.2).

,

где a - силовая постоянная взаимодействия ближайших соседних атомов в выбранном кристаллографическом направлении.

Область от -p/a до p/a для волнового вектора k содержит все независимые значения функции w(k) и называется первой зоной Бриллюэна. Любой вектор k', лежащий вне первой зоны Бриллюэна, может быть описан эквивалентным волновым вектором k первой зоны с помощью простого соотношения:

k' = k + 2pn/a,                                                  (8)

где n-целое число.

Рис.2. Дисперсионная  зависимость w(k) частоты колебаний для одноатомной линейной решетки.  

Фононы в кристаллах с двумя атомами в примитивной  ячейке.

Рис.3. Структура двухатомных кристаллов типа NaCl (а) и CsCl (б).

.

Как видно из соотношения, каждому значению волнового вектора k соответствует два значения w(k), и следовательно, две моды колебаний. Зависимость w(k) (рис.4) имеет две ветви, нижнюю из которых называют акустической, а верхнюю - оптической ветвью закона дисперсии.

Рис.4. Дисперсионная зависимость w(k) частоты колебаний для двухатомной линейной решетки.  

При акустических колебаниях атомы двухатомной цепочки  движутся синфазно, аналогично моноатомной  цепочке. При оптических колебаниях атомы движутся в противофазе, а центр их масс в ячейке остается фиксированным (см.рис.5) Очевидно, что если атомы M₁ и M₂ имеют противоположные заряды, то движение такого типа можно возбудить электрическим полем световой волны. По этой причине колебания указанного типа названы оптическими.

При k=0, корни уравнения имеют вид:

                                       (оптическая ветвь) 

                                           (акустическая ветвь) 

Рис.5. Поперечные оптические и поперечные акустические колебания одинаковой длины волны в двухатомной линейной решетке.  

При этом скорость распространения акустических колебаний  в выбранном кристаллографическом направлении определяется:

                                            (22)

Групповая скорость оптических колебаний при k=0 равна  нулю v₁=0.  

 

    

    Влияние фононов: фундаментальные  ограничения динамических процессов и подвижности  носителей. 

    Значение  фононов и их взаимодействия в  массивных материалах хорошо известно из работ по физике твердого тела, электронике твердого тела, оптической электронике, теплопереносу, квантовой электронике и сверхпроводимости.

    Например, подвижность носителей и динамические процессы в полярных полупроводниках, в таких как арсенид галлия, во многих случаях определяется взаимодействием продольных оптических (ПО) фононов с носителями зарядов. Рассмотрим движение носителей в арсениде галлия. В кристаллах арсенида галлия с низкой плотностью включений и дефектов скорость равновесных электронов во внешнем электрическом поле определяются главным образом скоростью испускания ПО фононов электронами. Что еще более характерно, электрон в таком полупроводнике будет ускоряться во внешнем электрическом поле до тех пор, пока энергия электрона достаточна для испускания ПО фононов. Когда энергия электрона достигает порогового значения для испускания ПО фононов – 38 мэВ в случае арсенида галлия – существует большая вероятность того, что электрон будет продолжать испускать ПО фононы в результате взаимодействия с ПО фононами. Конечно, электрон будет продолжать получать энергию электрического поля.

    В устойчивом состоянии, процессы потери электронами энергии из-за эмиссии  ПО фононов и получения электронами  энергии из электрического поля придут в равновесие, и электрон будет переноситься через полупроводник со скоростью, называемой скоростью насыщения. Как хорошо известно, экспериментальные значения для скорости насыщения колеблются в интервале от 10⁷ см/с до 10⁸ см/с. Для арсенида галлия такая скорость равняется 2*10⁷ см/с, а для антимонида индия 6*10⁷ см/с.

    Для обоих типов полупроводников, эмиссия ПО фононов играет главную роль в определении значения скорости насыщения. В неполярных материалах, таких как кремний, в которых скорость насыщения порядка 10⁷ см/с, деформационно-потенциальное взаимодействие происходит в результате потери энергии электронами через эмиссию фононов.

    Безусловно, во всех этих случаях подвижность  электронов будет находиться под  сильным влиянием взаимодействия электронов и фононов. Скорость насыщения носителей  в полупроводнике позволяет провести оценку того, как быстро будет действовать  микроэлектронный прибор, изготовленный из этого полупроводника. Действительно, минимальное время, за которое носители пройдут через активную область устройства, приблизительно оценивается отношением длины устройства, так называемых ворот, к скорости насыщения. Очевидно, действительное время переключения такого микроэлектронного прибора будет ограничиваться скоростью насыщения и, безусловно, вследствие этого, фононы играют важнейшую роль в фундаментальных и действительных пределах таких микроэлектронных приборов. В современных интегральных микросхемах, длина ворот может быть уменьшена во многих случаях только с помощью создания новых производственных возможностей. В некоторых случаях такие проекты могут стоить миллиарды долларов и больше. Значение фононов в микроэлектронике очевидно!

    Второй  пример важности взаимодействия носителей  и фононов в современных полупроводниковых  приборах – это динамика захвата носителей в активной квантово-механической яме полярного полупроводникового квантового лазера. Рассмотрим случай, когда поток электронов впрыскивается через барьер в квантовую яму такого лазера. Для работы лазера электрон должен потерять достаточно энергии, чтобы быть захваченным квази-границами и принять участие в лазерном процессе. Для многих квантово-размерных полупроводниковых лазеров это означает, что электрон должен потерять энергию порядка 100 мэВ и больше. Скорость потери энергии носителями, также известной как скорость термализации  носителей, в квантовой яме полярных полупроводников определяется как скоростью потери энергии посредством эмиссии оптических фононов, так и скоростью получения энергии носителями вследствие абсорбции оптических фононов. Последняя величина может быть значительной в квантовых ямах, так как фононы, выпущенные энергетическими носителями, могут накапливаться в таких структурах. Так как плотность фононов во многих полупроводниковых приборах, габаритно ограниченных, обычно намного выше количества равновесных фононов, существует большая вероятность того, что эти неравновесные, или горячие, фононы могут быть перепоглощены. Очевидно, что общая потеря энергии электронами в таких ситуациях зависит как от скорости абсорбции, так и от скорости эмиссии фононов. Более того, время жизни оптических фононов так же важно в определении общей скорости потери энергии таких носителей. Действительно, ПО фононы в арсениде галлия и многие другие полярные материалы распадаются на акустические фононы через каналы Клемена. К тому же, в широком интервале температур и волновых векторов фононов, время жизни ПО фононов в арсениде галлия меняется от нескольких пикосекунд до 10 пс (типичное время жизни для других полярных полупроводников не сильно отличается от этих величин). В результате каналов Клемена, «горячие» фононы распадаются на акустические фононы за время порядка 10 пс. ПО фононы, претерпевающие распад на акустические фононы, не способны поглощаться электронами и в результате каналов Клемена термализация происходит быстрее, чем могла бы. Это явление названо так же «эффектом нехватки горячих фононов».

    Время термализации электронов является важным параметром для полупроводникового квантово-размерного лазера, так как определяет минимальное время, необходимое лазеру для переключения. Это является следствием модуляции потока электронов, приводящей к генерации в лазере. Так как множество горячих фононов часто распадается во временном масштабе, грубо данным скоростью распада ПО фононов, грубая оценка времени термализации фононов – а поэтому и минимального времени, необходимого для перехода лазера от состояния включения до состояния выключения – равняется примерно 10 пс. Фактически, типичные частоты модуляции для  квантово-размерного лазера на арсениде галлия составляют около 30ГГц. Модуляции лазера в значительно более высоких частотах будет ограничено временем термализации носителей и временем жизни ПО фононов. Значение фононов в современной оптоэлектронике также очевидно.

    Важность  фононов в сверхпроводниках также  хорошо известна. Действительно, BCS (БКШ) теория сверхпровододимости основана на явлении образования бозе-частиц из пары электронов, также называемых пар Купера, связанных в промежуточном взаимодействии, производимом фононами. Многие из этих теорий, описывающих так называемые высокотемпературные сверхпроводники, не базируются на парах Купера, но значение фононов во многих сверхпроводниках не ставится под сомнение. Более того, широко известно, что взаимодействие акустических фононов определяют термические свойства материалов. 

    Взаимодействие  горячих фононов  в устройствах  с наноэлементами. 

    Взаимодействие  фононов неизбежно меняется в результате размерных ограничений состояний фононов в наноструктурах. Это делает фононы подобными электронам, запертым в квантовой яме. Рассмотрим хорошо известную волновую функцию электрона в бесконечно глубокой квантовой яме шириной L_z в z-направлении. Энергия собственного состояния ψ_n(z) может быть принята энергией плоской волны в направлении, параллельном к границе раздела, а энергия связанного состояния в бесконечно глубокой квантовой яме в направлении Z:

    

    где k_II и r_II – составляющие радиус-вектора и волнового вектора в плоскости, параллельной к поверхности раздела.

    

    n=1,2,3...- уровни собственных состояний, энергия которых равна:

    

    А – площадь границы раздела, по которой волновая функция электрона нормализована. Очевидно, что главным результатом размерного ограничения в направлении Z является стремление z-составляющих волнового вектора к кратным целым значениям . Говоря другими словами, фазовое пространство ограничено.