Движение смесей жидкостей со свободой границей во вращающейся цилиндрической полости

Содержание

 

 

 

Введение

 

С точки зрения механики жидкость является сплошной и легко деформируемой. Физический процесс такой деформации очень сложный, поскольку отдельные частицы жидкости движутся по разным траекториям и по разным законам движения траектории. Этот процесс из-за своей сложности и многообразия задач и методов их решения привлекает внимание математиков. Изучение этих законов и их математическое описание связано с большими трудностями. Для их преодоления вводятся различные теоретические модели реального движения, а также изучаются кинематические и динамические характеристики движения этих моделей.

О сложности постановок задач, а также способах и сложности их решения мы можем судить по следующей системе для вязкой несжимаемой смеси жидкости:

 

	(1)
	(2)

где – плотность, – вектор скорости -ой составляющей смеси, – тензор напряжения -ой компоненты смеси, – интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси, – вектор-функция, , , , , .

Как видно, закон сохранения импульса формулируется для каждой составляющей смеси и связь между этими уравнениями обусловлена структурой выражений

, ,

где – давление -ой компоненты смеси, – вязкая часть тензора напряжений -ой составляющей, – тензор скоростей деформаций, , – единичный тензор, и – коэффициенты вязкости. Такие предположения можно использовать при описании гомогенных смесей типа растворов, смеси газов, когда составляющие компоненты можно рассматривать как отдельные континуумы, заполняющие один и тот же объем и имеющие свои параметры в каждой точке.

Данная работа посвящена аналитическому решению задачи об установившемся движении двухкомпонентных смесей вязких несжимаемых жидкостей между вращающейся цилиндрической полости.

Работа содержит введение, три параграфа и список литературы.

В первом параграфе формулируется  задача об установившемся движении двухкомпонентных смесей вязких несжимаемых жидкостей во вращающейся цилиндрической полости. Во втором параграфе представлено ее аналитическое решение.  В третьем – произведен анализ полученных результатов.

§1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о сплошном течении  вязких несжимаемых жидкостей во вращающейся цилиндрической полости  радиуса R с твердым цилиндрическим плоским дном, перпендикулярным внутренней боковой поверхности. Верхняя граница объема занимаемого смесью, предполагается свободной. Над ней находится воздух с атмосферным давлением . В состоянии покоя высота столба жидкости равна H, занимаемый ею объем . Поместим начало декартовой системы координат oxyz в центр дна полости ось oz направим вертикально вверх по отношению к поверхности Земли.

Будем рассматриваемую среду считать  несжимаемой, т.е. примем что

и движение предполагать установившимся (стационарным)

При этих предположениях, уравнения (1)-(2) примут соответственно вид

	(3)
	(4)
	(5)
	(6)

где , .

Относительно коэффициентов вязкости (они являются заданными постоянными) будем предполагать, что

Так как в данной задаче будет  рассматриваться движение смесей вязких жидкостей во вращающемся цилиндре, то для удобства мы будем пользоваться уравнениями (3)-(6) в цилиндрической системе координат :

	(7)
	(8)
	(9)
	(10)

где . Ускорение свободного падения считается заданной постоянной, неизвестными являются компоненты векторов скорости и давления .

Далее будем рассмотривать случай движения смеси во вращающейся цилиндрической полости, считая, что - постоянная угловая скорость вращения цилиндра вокруг оси oz, то есть:

(11)

где - подлежащая определению функция

При этом предположении из уравнений (7)  – уравнений несжимаемости – получим:

(12)

Таким образом, скорость каждой частицы  вдоль ее траектории остается неизменной и зависит только от переменных и ( ).

Дифференциальные уравнения (8)-(10) при использовании тождеств (11), (12) принимают следующий вид:

(13)

Принимая плотности жидкостей одинаковыми, и тем самым векторные поля одинаковыми ( , ), из (13) получим:

(14)

где .

 

§2. Решение задачи о стационарном движении смесей несжимаемых жидкостей со свободной границей во вращающейся цилиндрической полости

 

Определим теперь форму свободной поверхности среды, считая, что давление ( см. выше) в ней постоянно и равно атмосферному давлению  . Пусть уравнение этой поверхности имеет вид:

  , , где R – радиус цилиндра.

Подставляя  это выражение и (14) в (11) получим:

(16)

.

Отсюда находим функцию  :

,

(17)

Следовательно, наша поверхность это параболоид вращения.

Для вычисления константы c воспользуемся законом сохранения объема.

Так как занимаемый жидкостью объем  не меняется, то

Отсюда 

,

и, следовательно,

.

(18)

 

Подставляя (18) в (17), получим

(19)

Поскольку ,  должна выполняться оценка

.

(20)

Таким образом, решения существуют только для угловых скоростей w, удовлетворяющих неравенству (21).  Как следует из (11) , (14) ,(18) само решение выглядит следующим образом:

(21)

Заметим, что зависимости (21) удовлетворяют стационарным уравнениям Эйлера, выписанным в цилиндрических координатах.

§3. Анализ полученных результатов

 

 

Построим графики свободной  поверхности (19) при  r=5 H=500 , =1 , g=10 и w, меняющимся от 100 до 500, с шагом 100.

Рис. 1

 

 

На Рис. 1  видно, что при w=100 поверхность смеси жидкостей отклняется от состояния покоя и образуется воронка.

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Из данных рисунков видно, что с увеличением ускорения w воронка увеличивается.

Список литературы

 

1.  Шеретов, Ю.В.  Об общих  точных решениях уравнений Навье-Стокса, Эйлера и квазигидродинамических уравнений // Ю.В. Шеретов//  Вестник ТвГУ –  №14 – 2010. – с. 41-58

2.  Кучер, Н.А. Краевые задачи  механики смесей жидкостей Часть  1: учебное пособие / Н.А. Кучер,  Д.А. Прокудин ; Кемеровский государственный униветситет. – Кемерово, 2010.

3. Слезкин, Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. /                                 Н.А. Слезкин. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955.