Задачи по математическому моделированию

Автор: Пользователь скрыл имя, 12 Ноября 2010 в 14:53, задача

Описание работы

Задачи и их решения по математическому моделированию в экономике.

Работа содержит 1 файл

Задачи 1..doc

— 262.00 Кб (Скачать)

  1. Решить графическим методом задачу линейного программирования:

а) найти  область допустимых значений (многоугольник  решений);

б) найти  оптимум целевой функции.

max и min Z = 4х1 + 5х2

                  5х1 + 3х2 £ 75

                  4х1 + 7х2 £ 83

                  х1 + 5х2 £ 50

                 

     Решение задачи:

    Структура всех трёх ограничений одинакова 

    Перейдём  из неравенств к уравнениям

 
 
 
 
 
 
 

    Построим  прямые на плоскости 

    

    Многоугольник решений  .

    Для нахождения максимума функции  построим начальную прямую и вектор .

    Передвигая  прямую вдоль вектора получим, что максимальное значение наша прямая принимает в точке точке пересечения прямых и .

    

     . 

 

  2. Решить задачу линейного программирования симплексным методом; дать экономическую интерпретацию оптимальных решений этих задач.

max f (X) = 4*x1+5*x2+6*x3

4*x1+5*x2+6*x3<=2000 
8*x1+6*x2+4*x3<=1770 
6*x1+4*x2+5*x3<=1600

x1,x2,x3 >=0/

     Решение задачи:

Математическая  модель задачи:

     Целевая функция:

max f (X) = 4*x1+5*x2+6*x3

     Система ограничений:

4*x1+5*x2+6*x3<=2000  
8*x1+6*x2+4*x3<=1770  
6*x1+4*x2+5*x3<=1600

x1,x2,x3, >=0; - условие неотрицательности переменных. 

Приведем  систему неравенств к каноническому  виду:

     Целевая функция:

max f (X) = 4*x1+5*x2+6*x3+0*x4+0*x5+0*x6

     Система ограничений:

4*x1+5*x2+6*x3+x4=2000  
8*x1+6*x2+4*x3+x5=1770  
6*x1+4*x2+5*x3+x6=1600
 

Векторный анализ системы ограничений:

     Расширенная целевая функция:

max f (X) = 4*x1+5*x2+6*x3+0*x4+0*x5+0*x6 

     Вектора:

P0 P1(x1) P2(x2) P3(x3) P4(x4) P5(x5) P6(x6)
2000 4 5 6 1 0 0
1770 8 6 4 0 1 1
1600 6 4 5 0 0 1

     Базис: 
Базисный вектор №1: P4(x4) 
Базисный вектор №2: P5(x5) 
Базисный вектор №3: P6(x6)

     Расширенная целевая функция: 
max f (X) = 4*x1+5*x2+6*x3+0*x4+0*x5+0*x6

     Заполним  первую таблицу:

     Таблица №1

Base CBase P0 4 5 6 0 0 0
P1 P2 P3 P4 P5 P6
1 P4 0 2000 4 5 6 1 0 0
2 P5 0 1770 8 6 4 0 1 0
3 P6 0 1600 6 4 5 0 0 1
max f (X) = 0 -4 -5 -6 0 0 0
             

 
Замещаемый  базисный вектор: P6 (3-я строка)  
Новый базисный вектор: P3 (3-й столбец)  
Заменяем базисный вектор P6 на P3.  
 
 
 
 
 

Таблица №2

Base CBase P0 4 5 6 0 0 0
P1 P2 P3 P4 P5 P6
1 P4 0 80 -3,2 0,2 0 1 0 -1,2
2 P5 0 490 3,2 2,8 0 0 1 -0,8
3 P3 6 320 1,2 0,8 1 0 0 0,2
max f (X) = 1920 3,2 -0,2 0 0 0 1,2
             

 
Замещаемый базисный вектор: P5 (2-я строка)  
Новый базисный вектор: P2 (2-й столбец)  
Заменяем базисный вектор P5 на P2.  
 Таблица №3

Base CBase P0 4 5 6 0 0 0
P1 P2 P3 P4 P5 P6
1 P4 0 45 -3,4286 0 0 1 -0,0714 -1,1429
2 P2 5 175 1,1429 1 0 0 0,3571 -0,2857
3 P3 6 180 0,2857 0 1 0 -0,2857 0,4286
max f (X) = 1955 3,4286 0 0 0 0,0714 1,1429
             

 
Невозможно  выбрать столбец замещения, так  как нет отрицательных dj. 
Получено оптимальное решение.

     Из  таблицы получим значения переменных целевой функции:

x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 175 180 45 0 0

 
  
Целевая функция:  
max f (X) = 4*0+5*175+6*180  
 И в результате:  
max f (X) = 1955. 
 
 3.
Решить венгерским методом задачу о назначении шести кандидатов на шесть должностей, при котором суммарные затраты по времени на выполнение работ минимальны. Таблица времени выполнения конкретной работы (по столбцам) конкретным кандидатом (по строкам) .

  A B C D E F
1 5 1 3 8 7 6
2 4 8 2 6 2 5
3 6 7 1 5 1 4
4 2 4 8 7 1 2
5 1 3 6 5 4 2
6 2 4 8 2 3 1
 

n = 6. 

     Эффективнее для решения задач подобного типа использовать метод назначений, который состоит из следующих четырех шагов.

     1. В каждой строке найти наименьшее  значение и вычесть его из  содержимого всех ячеек этой  строки матрицы. (Получится по  крайней мере один нуль в  каждой строке.)

  A B C D E F
1 4 0 2 7 6 5
2 2 6 0 4 0 3
3 5 6 0 4 0 3
4 1 3 7 6 0 1
5 0 2 5 4 3 1
6 1 3 7 1 2 0
 

     2. В столбце, не содержащем нулевых  ячеек, найти наименьшее значение  и вычесть его из содержимого  всех ячеек этого столбца матрицы. 

  A B C D E F
1 4 0 2 6 6 5
2 2 6 0 3 0 3
3 5 6 0 3 0 3
4 1 3 7 5 0 1
5 0 2 5 3 3 1
6 1 3 7 0 2 0

Информация о работе Задачи по математическому моделированию