Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

16

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Специальность «      Менеджмент организации         »

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине:             Высшая    математика 

На тему: ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ        ИСЧЕСЛЕНИЕ     ФУНКЦИИ    ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Вариант № ____1___

Выполнил:

Студент __1__ курса

______1_____ семестр

Шошина Екатерина Анатольевна

№ зачетки- 32091031

Тюмень, 2010

«ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

1.      Вычислить предел

Решение.

При имеем

Следовательно,

2.      Найти асимптоты функции

Решение.

=

Очевидно, что функция при .

Отсюда получаем, что

Следовательно, – вертикальная асимптота.

Теперь найдем горизонтальные асимптоты.

Следовательно, – горизонтальная асимптота при .

3.      Определить глобальные экстремумы

   при х[1,2]

Найдем производную

Для нахождения локальных экстремумов решим уравнение

,  значит для нахождения глобальных экстремумов наибольшего и наименьшего значения на отрезке надо взять значения функции в концах отрезка.     наименьшее     наибольшее

4.      Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

Найдем производную

Решим уравнение 

Локальные экстремумы: т. max

                                           т. min

Точка перегиба               

Промежутки монотонности:

возрастает при ,

убывает при .

Точка – локальный

минимум.

5.      Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Решение:

Требуется найти вторую производную

==

Точки перегиба     6x-12=0

                              x=2

выпуклость вверх (выгнутость) 

Выпуклость вниз (выпуклость) 

Отсюда следует, что функция

выпуклая при ;      вогнутая при ;  точка перегиба  x =2

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ»

1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .

Решение.

1) Область определения функции

.

2) Функция не является четной или нечетной, так как

     .

3) Теперь найдем точки пересечения с осями:

а) с оx: , б) с oy .

4) Теперь найдем асимптоты.

а)

А значит, является вертикальной асимптотой.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты

Отсюда следует, что

является наклонной асимптотой при .

5) Теперь найдем критические точки

не существует при .

6)

не существует при

Построим эскиз графика функции

1.      Найти локальные экстремумы функции

Решение.

Решим систему

Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.

,    ,    

Две точки подозрительны на экстремум

(0,0),   (-1,1)

Для анализа характера экстремума найдем вторые производные

Найдем знаки выражений в подозрительных точках, т.е

         и   

В точке (0,0) получим 0 и - 9

В точке (-1,1) получим - 6 и - 27

Вывод: в точке (0,0) экстремума нет,

в точке (-1,1) знаки - +  это точка максимума

2.      Определить экстремумы функции

,   если ху=100, х>0, у>0

Решение.

Сначала запишем функцию Лагранжа

.

И исследуем ее

При   ,     ,  

При ,  , 

Т.к. то получаем одну точку (10,10).

Это точка минимума

«ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

1. Найти неопределенный интеграл

1.     

Поэтому сделаем замену y=x-1

Тогда x=y+1, dx=dy

Получим

===

Сделаем замену

==

=arcsinz+C (табличный интеграл)

=arcsin (возврат к  y,x)

= arcsin

2. Найти неопределенный интеграл

Решение:

Сделаем замену , тогда , dx=2ydy

==

Выполним деление с остатком:

на получим , остаток 24

==

Первые два интеграла табличные, в последнем  - замена

Y+3=z,  y=z-3,  dy=dz

==

3. Найти неопределенный интеграл

Решение:

Применим замену                      

=

Так как  , то = 

По формуле интегрирования по частям

=

3.      Вычислить

Решение:

Сделаем замену ,           

;  

=

5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

Решение:

1)

2)

Найдем точки пересечения.

Точки пересечения (-1,1), (1,1)

Фигура располагается по x от -1 до 1

Требуется найти площадь заштрихованной области

При    видим, что  , поэтому

Список используемой литературы

1.Кругликов В.И.Основы высшей математики: Учебное пособие.Тюмень:Мздательство Тюменского государственного университета,2004.

2. Артемьева Е. Ю. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике для психологов. – Издательство МГУ, 1969.

3. Макаров И. П. Дополнительные главы математического анализа. – М., «Просвещение», 1968.

4. Мацкевич И. П., Свирид Г. П., Булдык Г. М. Сборник задач и упражнений по высшей математике. – Минск,

«Высшая школа», 1996.

4. Пугачев И. С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1979.

6. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – Москва, «Просвещение», 1968.

7. Столяр А. А. Логическое введение в математику. – Минск, «Высшая школа», 1971.

8. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. –М.: Наука, 1978.

9. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. –М.: Наука, 1971.