Векторы

  Разность двух векторов есть сумма вектора и вектора, противоположного вектору (рис. 5), т.е. вектор

                                 .  

Разность вектора  и обозначают .

                                              Разность двух  векторов  и может

                                     быть получена с помощью правила

              b                       треугольника. Отложим от точки А вектор

                                             (рис. 6): = ; от конца вектора -

                       а                  отложим вектор = - ;  вектор

          а – b                        = с – разность векторов и : 
 

     Рис.5

                                                          . 

                         

                                 

                                                                                                                   

      С   
 

      -b  с = а – b 

       
 

     В                            а                                        А 
 

Рис. 6 

  Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число называют вектор, имеющий направление вектора , если положительно, и противоположное направление, если отрицательно; длина этого вектора равна произведению длины вектора а на число обозначается через .

 В случае, если = 0 или = 0, соответственно считают для любого , для любого .

Свойства  операции умножения  вектора на число:

1. коммутативность:

                                        =

2. ассоциативность:

                                         

3. дистрибутивность  относительно сложения векторов:

 

                                          

4.  дистрибутивность  относительно сложения чисел:

 

                                      

 Два нулевых вектора называют коллинеарными,  если их направления совпадают или противоположны.

 Нулевой вектор по определению считается коллинеарным любому вектору.

 Необходимым и достаточным условием коллинеарности

ненулевых векторов и является существование числа ,

удовлетворяющего  равенству  = .

 Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и на плоскости, заданных своими координатами относительно прямоугольной декартовой системы координат Оху:

                      а ,     b , 

является равенство нулю определителя второго порядка: 

. 

 Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов a и b в пространстве, заданных своими координатами относительно прямоугольной декартовой системы координат Оxyz: 

      а ,      b ,     

являются равенство  нулю всех следующих определителей  второго порядка:  

                                            

 Три ненулевых вектора называют компланарными, если  лучи, задающее их направления, принадлежат прямым, параллельным некоторой плоскости. Если среди трех векторов имеется хотя бы один нулевой, то такие векторы также считаются компланарными.

 Необходимым и достаточным условием компланарности трех вектора  , заданных своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат Оxyz: 

  а ,     b ,     

является равенство  нулю определителя третьего порядка: 

 Если векторы и не коллинеарны, то любой вектор c, компланарный  с векторами и , можно представить единственным образом  в виде

                                                      ,                   (1)

т. е. существует единственная упорядоченная пара чисел (x;y), для которой выполняется равенство (1).

 Представление  вектора c, компланарного с векторами и , в виде суммы называется разложением вектора c по векторам и .                                                     Правило параллепипеда.  
 

 S Для нахождения вектора,

     С                                              являющегося суммой трех

                                                     некомпланарных векторов ,

   с                                                часто используют правило,

             А                                      называемое правилом

                                               параллелепипеда.

      а   В                От произвольной точки пространства   

О              b                            О откладывают векторы  ,

        Рис.7  и . Строят

                                            параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ,ОС были его ребрами (рис.7). Вектор , где OS – диагональ параллелепипеда, - сумма трех данных векторов: 

=  

  Разложения вектора  по трем некомпланарным векторам. Пусть  - три некомпланарных ненулевых вектора. Тогда любой пространственный вектор единственным образом может быть представлен в виде суммы: 

              (2)

т. е. существует единственная упорядоченная тройка чисел (x; y; z),  для которой выполняется равенство (2).

   Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

  Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. Угол между двумя векторами и часто обозначается (a^b).

  Если угол между векторами и равен , то эти векторы называют перпендикулярными и пишут .

 Скалярным произведением двух ненулевых векторов и , обозначаемым (a b) (или ),  называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

где  = (a^b). Если хотя бы один из двух векторов a и b нулевой, то скалярное произведение этих двух векторов считается равным нулю. O скалярном произведении (a,b) говорят, что оно получено в результате скалярного умножения вектора на вектор .

  Свойства скалярного умножения векторов:

1. коммутативность:

 

2. ассоциативность относительно умножения на число:

 

 Операции сложения  и скалярного умножения векторов  связаны дистрибутивным законом умножения относительно сложения: 

.

  Необходимым  в достаточным условием перпендикулярности  двух ненулевых векторов является  равенство нулю их скалярного  произведения.

  Скалярное произведение  вектора на тот же вектор  равно квадрату числового значения его длины. Произведение называется скалярным квадратом вектора а и обозначается . 

   Координаты вектора на плоскости. Пусть Оху   прямоугольная декартова система координат с базисными векторами ( i; j). Любой вектор а, принадлежащий плоскости, может быть разложен по векторам базиса i, j т. е. для любого вектора а существует, и притом только одна, упорядоченная пара чисел такая, что

 

Числа называют координатами вектора a в базисе (i; j) и пишут  

a =

. 

  Если в прямоугольной  системе координат точки А  и В имеют координаты  и , то координатами вектора будет упорядоченная пара чисел , т. е.  

= . 

  Правила действий  над векторами,  заданными координатами.  Пусть в базисе (i; j) векторы и заданы своими координатами: 

,                    . 

1. Координаты  суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых:

 

+ = .  

2. Координаты  разности двух векторов равны разности соответствующих координат этих векторов:

 

– = . 

3. Координаты  произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат данного вектора на это число:

 

p

= . 

4. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

 

(

) = . 

   Модуль вектора а, заданного своими координатами , вычисляется по формуле 

. 

  Угол  между двумя ненулевыми векторами и , заданными своими координатами и соответственно, вычисляется из равенства 

. 

   Косинусы  углов между вектором a = и векторами базиса   i,  j называются направляющими косинусами вектора а и вычисляются по формулам  

             ,       . 

  Направляющие косинусы любого вектора a связаны равенством 

=1 
 
 
 
 

  Векторное произведение. Векторным произведением двух векторов и , обозначаемым (или ), называется вектор, определяемый следующими тремя условиями:

1. модуль вектора  равен , где - угол между векторами и ;
1. вектор перпендикулярен как вектору , так и вектору ;
2. упорядоченная тройка векторов (a; b; ),  отложенных от одной точки, образует правый (в общем случае косоугольный) базис (рис. 8).