Теория вероятностей

Задача №4

Из карточек с буквами  А,Б,В,Д наудачу последовательно выбираются 3 и раскладываются в ряд. Какова вероятность получения слова «ДВА»?

Решение:

Обозначим событие А –  получить слово «ДВА». Вероятность этого события найдем по формуле, где n – число всех возможных исходов, а m – число благоприятных исходов. Число всех исходов равно числу размещений из 4 по 3, т.е. . Число благополучных исходов – один, т.е. , значит искомая вероятность равна 

 

Ответ: 0,042

Задача №37

Производится бомбометание по 3 складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания  в один из складов – 0,01, во второй – 0,008, в третий – 0,025. При попадании  в один из складов взрываются все  три. Найти вероятность того, что  склады будут взорваны.

Решение:

Обозначим события:

A – склады будут взорваны;

B – бомба попала во второй склад;

C – бомба попала в третий склад;

D – бомба попала в третий склад.

По условиям задачи:

Событие А наступит, если бомба попадет хотя бы в один склад.

Вероятность наступления  события А равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , т.е.

 

 

 

 

Следовательно, искомая вероятность  равна:

 

Ответ: 0,0425

Задача №85

Работают 10 станков. Вероятность  включения станка равна 0,9. Найти  вероятность того, что в данный момент включено 6 станков.

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли:

 

где . Тогда искомая вероятность равна:

 

Ответ: 0,011

 

Задача №97

Вероятность того, что в  библиотеке необходимая студенту книга  свободна, равна 0,3. Составить закон  распределения числа библиотек, которые посетит студент в  поисках книги, если в городе 3 библиотеки, найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Обозначим через событие  А₁ – книга свободна в первой библиотеке, А₂ – во второй, А₃ – в третьей. Тогда . Вероятность противоположного события, что книга занята Тогда

 .

Для составления закона распределения  рассчитаем соответствующие вероятности:

 

 

 

Ряд распределения будет  выглядеть следующим образом

	1	2	3
	0,3	0,21	0,49

Контроль 

Вычислим числовые характеристики

Математическое ожидание равно:

 

Дисперсию вычислим по формуле:

 

 

 

 

Закон распределения для 

	1	4	9
	0,3	0,21	0,49

Вычислим математическое ожидание

 

Исчислим дисперсию

 

Найдем среднее квадратическое отклонение

 

Ответ: ; ;

Задача №136

Случайная величина X задана функцией распределения (интегральной функцией)

 

Требуется найти:

1. дифференциальную функцию (плотность вероятности);
2. математическое ожидание и дисперсию;
3. вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (a;b), т.е.

Решение:

а) Дифференциальную функцию найдем по формуле , т.е. продифференцируем функцию

 

б) Математическое ожидание найдем по формуле 

 

 

Дисперсию найдем по формуле:

 

 

в) Вероятность попадания  величины X в заданный интервал (a;b) найдем по формуле: т.е.

Искомая вероятность равна:

Ответ: а)

б) ;  
в)

 

 

Задача №167

Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Записать плотность распределения и построить график. Найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал .

Решение:

Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то плотность распределения имеет вид:

, т.е. 

Построим график этой функции:

При

При

При

график принимает вид

Вероятность попадания величины X в заданный интервал найдем по формуле , где – есть функция Лапласа, её значение находим по приложению, учитывая, что эта функция нечетная, т.е. .

При искомая вероятность равна:

 

 

Значит искомая вероятность  равна:

 

Ответ: