Теорема Лапласа

МИНОБРАЗНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«Кузбасская государственная педагогическая академия»

(ФГБОУ  «КузГПА»)

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии, теории и методики обучения математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат по предмету: Алгебра 

Тема: Теорема Лапласа 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Новокузнецк,2011

 

Содержание:

Введение 3

Теорема Лапласа 4

Примеры 8

Вывод 15

Список используемой литературы

 

Введение

     В своей работе я рассмотрю теорему Лаплас Пьер Симон ,(Laplace Pierre Simon, 1749–1827) французского математика, о вычислении определителя.

     Научное наследие Лапласа огромно, у него есть труды в астрономии, математике, механике, мат.физике, теории вероятностей: Лапласов азимут, уравнение Лапласа, закон Био-Савара-Лапласа (о напряженности магнитного поля, создаваемого электрическим током) и пр. (в ”Математической энциклопедии” с его именем связываются 12 разделов).

 

     Теорема Лапласа

Определение. Выделим в detA строки с номерами α1 < . . . < αk и столбцы с номерами β1 < . . . < βk. Элементы aαjβℓ , стоящие в этих строках и столбцах, образуют определитель k-го порядка:

Он называется минором k-го порядка определителя detA. Если же из определителя detA вычеркиваются строки и столбцы с указанными номерами, то получившийся пределитель (n − k)-го порядка

называется минором, дополнительным минору M в detA. Число

называется алгебраическим дополнением минора M в detA. Теорема Лаплас. Выделим в detA произвольные строки с номерами α1 < . . . < αk. Образуем всевозможные миноры k-го порядка с элементами из этих строк:

Домножим  эти миноры на их алгебраические дополнения в detA. Тогда ве личина detA равна сумме таких произведений по всем возможным выборкам k элементов (β1, . . . , βk) из {1, 2, . . . , n}:

(1.1)

Таким образом, формула (1.1) является естественным обобщением формулы разложения определителя по элементам его строки. На основании свойства равноправия строк и столбцов определителя, в теореме Лапласа можно вместо фиксирования строк фиксировать столбцы:

Доказательство  . Пусть M1, . . . , MN при N def = Ck n — все различные миноры k-го порядка, которые находятся в строках α1, . . . , αk, пусть _M1, . . . , _MN — их алгебраические дополнения. Составим сумму

(1.2)

Нам нужно доказать, что эта сумма совпадает с detA. Сделаем это следующим образом. Будем считать все элементы матрицы A переменными. Тогда формально detA — это полиномиальная функция от своих элементов, множеством одночленов которой имеет вид

(1.3)

где (α1, . . . , αn) и (β1, . . . , βn) пробегают все возможные перестановки элементов 1, . . . , n. Сумма (1.2) тоже является полиномиальной функцией тех же переменных; она, в свою очередь, порождается множеством

(1.4)

т.е. объединением всех мономов, содержащихся в слагаемых (1.2). Покажем, что эти два полинома — detA и (1.2) — тождественно равны, т.е. совпадают множества их одночленов.

I. Докажем, что  любой элемент множества (1.4) входит в состав множества (1.3). Выберем в разложениях миноров

произвольные  мономы, пусть они имеют вид

где (j1, . . . , jk) — перестановка чисел β1, . . . , βk, а (jk+1, . . . , jn) — перестановка чисел βk+1, . . . , βn соответственно. Эти произведения будут входить в разложения миноров со знаками соответственно

Поскольку  α1 < . . . < αk и αk+1 < . . . < αn, то inv (α1, . . . , αk) = 0 и inv (αk+1, . . . , αn) = 0, следовательно, знаки при произведениях равны

соответственно. Если теперь перемножить эти выражения  с учетом их знаков, а также знака, который приписывается алгебраическому дополнению минора M, то в произведении M_M будет содержаться моном 
 

(1.5)

со знаком 

(1.6)

То же произведение (1.5) войдет и в сумму, задающую detA, поскольку индексы α1, . . . , αn все различны и j1, . . . , jn все различны. В этой сумме знак у произведения будет

(1.7)

Покажем, что  величины (7.6) и (7.7) одинаковы.

. Имеем:

(числа j1, . . . , jk представляют собой переставленные числа β1, . . . , βk). Таким образом, величина (1.7) равна

Число 2C2k+1 — четное, поэтому получившееся выражение совпадает с (1.6). Таким образом, мы доказали, что множество (1.4) содержится во множестве (1.3).

II. Докажем теперь  обратное, т.е. то, что множество  (1.4) содержит множество (1.3). Произвольный одночлен в формуле detA можно представить в виде (1.3), где α1, . . . , αk — номера строк, упомянутых в формулировке теоремы. Этот же одночлен войдет и в состав произведения Mj_Mj, где Mj — минор, стоящий в строках α1, . . . , αk и в столбцах β1, . . . , βk. В самом деле, в состав Mj войдет одночлен

а в состав _Mj — одночлен

домноженный на (−1)α1+...+αk+β1+...+βk . Произведение этих одночленов даст (1.3). На основании пунктов I и II доказательства множества (1.4) и (1.3) совпадают.

III. Наконец, множества  {Mj_Mj} и {Mk_Mk} не имеют общих элементов при j _= k, поскольку миноры Mj и Mk различаются хотя бы одним столбцом. Следовательно, сумма (1.2) действительно совпадает с detA.

 

Примеры:

Пример 1. Вычислить определитель примера с помощью теоремы

Лапласа, взяв α1 = 2, α2 = 5.

С точки зрения вычислительной эффективности теорема Лапласа не представляет интереса. Она, однако, полезна для доказательства некоторых теоретических результатов. 

Пример 2.Пусть дана матрица А:

Найдем  алгебраические дополнения для двух элементов:

1. для  элемента, который  стоит в первой строке, первом столбце

3. для  элемента, который стоит в третьей  строке, втором столбце

А теперь используя алгебраическое дополнение матрицы найдем определитель матрицы  А , используя теорема Лапласа:

Пусть дана матрица А:

Разложим  по первой строке:

Обратите  внимание еще раз, как раскладывалась матрица, как находилось алгебраическое дополнение матрицы:

В последнем  примере определитель матрицы равен  нулю. В таких случаях матрицу  называют вырожденная матрица. Во всех выше представленных примерах, определитель отличен от нуля, значит матрица невырожденная.

Пример 3. Пользуясь теоремой Лапласа вычислить определитель:

.

Разложим  его по 2-ой и 4-ой строкам, содержащим лишь один не равный нулю минор 

,

элементы  которого стоят на пересечении 2-ой, 4-ой строк и 1-го, 4-го столбцов, получим:

Пример 4. Пользуясь теоремой Лапласа вычислить определитель:

.

Разложим  определитель по 3-му и 5-му столбцу, содержащих три не равных минора:

минор

,

элементы  которого стоят на пересечении 3-го, 5-го столбцов и 1-ой, 3-ей строк;

минор

,

элементы  которого стоят на пересечении 3-го, 5-го столбцов и 1-ой, 4-ой строк;

минор

,

элементы  которого стоят на пересечении 3-го, 5-го столбцов и 3-ей, 4-ой строк.

Получим:

.

Пример5. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель четвёртого порядка:

Решение. Выберем  в определителе первые две строки. Из элементов первых двух строк составим всевозможные миноры второго порядка. Всего миноров будет шесть:

Из этих шести  миноров – три будут нулями, так как в них содержатся столбцы, целиком состоящие из нулей.

Далее, для каждого  неравного нулю минора составляем алгебраическое дополнение. Тогда, применяя теорему  Лапласа, получим:

Пример 6. Рассмотрим матрицу A:

Применим теорему  Лапласа для вычисления определителя матрицы A.

Для этого:

найдем все миноры 2-го порядка, расположенные в первых двух строках;

найдем для  них дополнительные миноры и алгебраические дополнения;

вычислим определитель как сумму произведений всех миноров, расположенных в первых

двух строках, на их алгебраические дополнения.

Рассмотрим матрицу  A:

Вычислим определитель матрицы "разложением по 3-й строке":

 
 
 

Пример 7. Рассмотрим матрицу A:

Вычислим определитель матрицы "разложением по 2-му столбцу":

 
 
 
 

 

Вывод.

Теорема Лапласа или одно из свойств определителя "Разложение определителя по элементам некоторого ряда".

Определитель  матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (любой  строки или столбца) на соответствующие  им алгебраические дополнения.

Алгебраическое дополнение матрицы есть у каждого элемента этой матрицы, для его определения надо (-1) возвести в степень суммы номеров строки и столбца и умножить все это минор этой матрицы, т.е. на определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы  путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.