Связи между математикой и естественнонаучными дисциплинами

 

Механический (кинетический) подход, при котором вещество рассматривается  как совокупность частиц, а именно атомов или молекул, подчиняющихся  обычным законам движения, приводит к совсем другой картине. Частицы, сталкиваясь  друг с другом и двигаясь «случайным»  образом, не могут создать абсолютно  однонаправленный поток от A к B. Согласно теореме Пуанкаре, такая динамическая система в конце концов вернётся в состояние, сколь угодно близкое  к начальному, если только это начальное  состояние не является столь исключительным, что такой возможностью можно  спокойно пренебречь. Это «квазипериодическое» поведение резко отличается от монотонного  стремления к выравниванию, которое  следует из второго начала термодинамики.

 

Чтобы уладить возникшее  расхождение, Пауль и Татьяна  Эренфест предложили в 1907 г. простую  и красивую модель (упомянутую в  § 18 гл. 1).

 

Рассмотрим две урны A и B, одна из которых (скажем, A) содержит большое  число N занумерованных шаров (в § 18 гл. 1 в качестве N было взято число 2R). Сыграем теперь в такую игру: выберем «случайно» какое-нибудь число  от 1 до N и переложим шар с этим номером из урны, где он лежит, во вторую (первым ходом всегда будет  перекладывание из A в B). Затем повторим эту процедуру много раз (при  этом шары будут часто возвращаться в A), следя за тем, чтобы последовательные вытягивания чисел были независимы и чтобы каждый раз извлечения всех чисел от 1 до N были равновероятными.

 

Интуитивно кажется, что  до тех пор, пока в ^ A намного больше шаров, чем в B, вероятность перекладывания из A в B будет значительно большей, т.е. получится нечто вроде однонаправленного  потока из A в B.

 

Хотя вытягивания чисел  и независимы, количества шаров в ^ A в последовательные моменты времени  не являются независимыми. Они связаны  определённой зависимостью типа марковской цепи (см. § 18 гл. 1). Среднее значение числа шаров в A, экспоненциально убывая, стремится к N/2, что вполне согласуется с выводом термодинамики. С другой стороны, можно найти, что с вероятностью 1 модель в конце концов вернётся в начальное состояние (т.е. все шары снова окажутся в A). Но в этом и состоит утверждение теоремы Пуанкаре для динамических систем.

 

Очевидно, что на самом  деле между вторым началом термодинамики  и квазипериодическим поведением динамических систем нет никакого противоречия, если только не рассматривать этот закон как абсолютную догму и  допускать более гибкую интерпретацию, основанную на теории вероятностей. Всё  это становится ещё яснее, если вычислить  среднюю продолжительность интервала  времени, необходимого для того, чтобы  модель Эренфестов вернулась в начальное  состояние. Для этого потребуется 2N шагов — огромное число даже для не слишком больших N, скажем около 100.

 

И если все наблюдаемые  явления кажутся нам необратимыми (однонаправленными), то только потому, что наша жизнь ничтожно коротка  по сравнению с этими грандиозными сроками!

 

В «игру» Эренфестов легко  играть при помощи современных вычислительных машин. Такие эксперименты проводились  для ^ N = 214 = 16 384 «шаров», причём каждый «прогон» состоял из 200 000 вытягиваний. (Это занимает меньше двух минут.) Число  шаров в A регистрировалось после  каждых 1000 вытягиваний. Один из полученных при этом графиков показан на рисунке.

 

 

 

 

Как видно из этого графика, число шаров в A сначала падает почти в точности по экспоненте. Однако далее кривая становится «волнистой»  и случайным образом колеблется относительно положения равновесия.

 

Как модель выравнивания температур модель Эренфестов весьма далека от реальности. И тем не менее именно она улавливает существо дела, позволяющее примирить  кинетический подход с традиционной термодинамикой.

 

На протяжении XX века применение математических понятий, методов и  технических приёмов захватывает  всё больше областей знания и приложений. Можно даже отважиться на утверждение, что мы являемся свидетелями тенденции  к «математизации» всех видов  интеллектуальной деятельности. Такая  тенденция, конечно, далеко не всегда оправдана. Можно назвать множество примеров, когда «математизация» тривиальна или претенциозна, и даже таких, когда  она страдает обоими этими недостатками.

 

Однако, оставляя в стороне  вкусы и личные точки зрения, невозможно отрицать, что число и разнообразие проблем, которые могут быть сформулированы и исследованы математически, постоянно  увеличивается. Мы выделим из них  и коротко обсудим здесь три  проблемы, относящиеся соответственно к теории очередей, теории игр и  теории информации.

 

^ Теория очередей возникла  из попыток так спроектировать  центральную телефонную станцию,  чтобы каким-то образом свести  к минимуму время ожидания  связи. Опишем простейший тип  возникающих при этом задач. 

 

Допустим, что на станцию  с одним обслуживающим аппаратом  прибывают «клиенты» (поступают  телефонные вызовы), которые обслуживаются (или обрабатываются) по очереди, один вслед за другим. Допустим также, что  время можно разделить на элементарные интервалы продолжительности τ. («Квантовать» время здесь не обязательно, но если это сделать, задачу сформулировать легче. Решив её в такой постановке, можно затем каким-то подходящим образом устремить τ к нулю и построить теорию, соответствующую  случаю непрерывного прибытия клиентов.) Далее, обозначим через pk вероятность того, что в течение некоторого данного интервала времени прибудет k (k = 0, 1, 2, ...) клиентов. Тогда

 

p0 + p1 + p2 + ... = 1.

 

 

Затем вводится существенное упрощение: предполагается, что прибытия клиентов в разные интервалы времени  являются независимыми событиями, и, таким  образом, вероятность того, что в  течение первого интервала прибыло k1 клиентов, в течение второго  — k2, третьего — k3 и т.д., равна произведению

 

 pk

 

 pk

 

 pk

 

... .

 

¹

 

²

 

³

 

 

 

Наконец, предполагается, что  время обслуживания случайно, и вероятность  того, что процесс обслуживания занимает время λτ (т.е. λ элементарных интервалов, где λ = 1, 2, ...), обозначается через ρλ. Тогда

 

ρ1 + ρ2 + ρ3 + ... = 1.

 

 

Теперь возникают следующие  вопросы: каково среднее число клиентов, ожидающих своей очереди, по прошествии некоторого указанного времени? Каково среднее время, которое должен прождать клиент, прежде чем его обслужат? На эти вопросы получены полные ответы, которые, однако, отнюдь не являются простыми. Путь к ним неожиданно проходит по таким областям математики, как теория функций комплексного переменного. Например, приходится рассматривать степенные ряды

 

p0 + p1z + p2z2 + ...,

ρ1w + ρ2w2 + ρ3w3 + ...

 

 

для комплексных значений z и w.

 

Если рассматривать более  близкую к действительности модель, допуская больше одного обслуживающего аппарата, математические трудности  становятся почти непреодолимыми, и  даже на простейшие вопросы невозможно ответить достаточно полно. К счастью, на помощь проектировщику сложной системы  с несколькими обслуживающими аппаратами приходят быстродействующие вычислительные машины. Вдумчивое использование  метода Монте-Карло (описанного в гл. 2) позволяет имитировать проектируемую  систему и эмпирически исследовать  различные стороны её функционирования.

 

Строго говоря, такой «экспериментальный»  подход не относится к математике. Однако эта ситуация похожа на ту, которая  сложилась много веков назад, когда Евдокс и Архит пытались «подлить» немного механики в «светлые воды» геометрии (см. стр. 194–195).

 

Эмпирическое изучение очередей в сложных системах вполне может  подсказать пути аналитического подхода, который потребует новых понятий  и методов. Последние в свою очередь  могут обогатить и украсить отдалённые и не связанные между собой  области математики.

 

^ Теория игр, созданная  Джоном фон Нейманом почти  в одиночку, является удивительной  иллюстрацией того, как можно  «математизировать» задачи, которые на первый взгляд кажутся неподдающимися никакому рациональному подходу. Мы объясним, что это за теория, на примере упрощённого покера 4).

 

Колода для игры в упрощённый покер состоит из 2n карт (n достаточно велико), половина которых — старшие (С), а вторая половина — младшие (М). Каждый из двух игроков A и B делает «ставку» размера a и получает одну карту. Затем A начинает игру. Он может  либо «открыть» свою карту, либо «повысить» ставку, добавив в «банк» ещё b денежных единиц. Если A открывает карту, то B обязан сделать то же самое. После  этого игрок, у которого оказалась  более сильная карта, забирает обе  ставки; если же оба игрока имели  одинаковые карты, то они делят банк между собой, т.е. каждый забирает назад  свою ставку.

 

Если ^ A «повышает» ставку, то у B уже есть выбор: он может либо «спасовать» (т.е. отказаться от игры и  отдать деньги A), либо «играть» (т.е. добавить в банк ту же сумму b в последнем  случае A должен открыть свою карту, после чего карту открывает и B). Выигрыш, проигрыш и ничья определяются так же, как и в первом случае.

 

Вопрос заключается в  том, какой способ игры наиболее выгоден  для A (соответственно для B). Чистой стратегией называется правило, предписывающее, как  должен поступить игрок в любой  ситуации, которая может возникнуть в ходе игры. Таким образом, для A имеется четыре чистые стратегии:

 

(O–О) — стратегия «открыть–открыть»,  т.е. открыть карту независимо  от того, какая она у него: старшая  (С) или младшая (М).

 

(О–П) — «открыть–повысить», т.е. открыть, если у него  старшая карта, и повысить ставку, если его карта младшая. 

 

(П–О) — «повысить–открыть», т.е. повысить ставку, если он  имеет старшую карту, и открыть  карту, если она младшая. 

 

(П–П) — «повысить–повысить»,  т.е. повышать ставку в любом  случае.

 

Следует заметить, что стратегии (О–О) и особенно (О–П) «плохие», ибо  они не дают возможности использовать преимущество старшей карты.

 

Аналогично, B имеет четыре чистые стратегии, определяемые его  решением «спасовать» (С) или «играть» (И) в разных ситуациях:

 

(С–С),

 

(С–И),

 

(И–С),

 

(И–И).

 

(Напомним, что если A требует  открыть карты, то у B нет  никакого выбора.) Из этих четырёх  стратегий для B первая и вторая  заведомо «плохие», так как они  предписывают ему спасовать, имея  на руках старшую карту. 

 

Если предположить, что A и B играют ради выигрыша, а не ради скрытой  благотворительности, то нужно сразу  отбросить стратегии (О–О) и (О–П) для A, а также (С–С) и (С–И) для B. Теперь легко подсчитать, сколько может  выиграть A при различных комбинациях  стратегий. Допустим, например, что A выбирает стратегию (П–О) (т.е. повышает, если у  него старшая карта, и открывает, если его карта младшая), а B —  стратегию (И–И) (т.е. играет в любом  случае). Тогда можно составить  такую таблицу:

 

Карта A

 

Карта B

 

Выигрыш A

 

С

 

С

 

0

 

С

 

М

 

a + b

 

М

 

С

 

–a

 

М

 

М

 

0

 

 

При большом n четыре варианта исходных позиций — (C, C), (C, М), (М, C), (М, М) — будут осуществляться примерно с одинаковой частотой, равной 1/4. Тогда  «в среднем» стратегия (П–О) против (И–И) принесёт A чистый выигрыш, равный b/4 за одну игру.

 

Аналогично можно подсчитать средний чистый выигрыш ^ A за одну игру при выборе остальных трёх пар  стратегий. Результаты этих подсчётов  можно изобразить в виде так называемой матрицы платежа (или матрицы  выигрышей):

 

 

 

B = (И–С)

 

B = (И–И) 

 

A = (П–О)

 

0

 

b/4

 

A = (П–П)

 

(a – b)/4

 

0

 

 

Допустим, что a < b, т.е. левый нижний элемент этой матрицы отрицателен. Тогда стратегия (П–П) невыгодна игроку ^ A, и он выберет стратегию (П–О). Аналогично, игроку B невыгодна стратегия (И–И), и он выберет чистую стратегию (И–С). Итак, в случае «консервативной» игры («повысить», если карта старшая; «открыть», если карта младшая; «играть», если карта старшая; «спасовать», если карта младшая) оба игрока в среднем будут «оставаться при своих». Оптимальными стратегиями являются чистые стратегии, и игра в этом случае честная (не дающая преимущества ни одному из игроков).

 

Если a > b, то результат игры смещается в пользу A, так как только он обладает привилегией «повышения»; в действительной игре это право предоставляется игрокам по очереди. Однако для того чтобы воспользоваться своим выгодным положением, A должен придерживаться смешанной стратегии, выбирая (П–О) с вероятностью p1 и (П–П) с вероятностью p2, где p1 + p2 = 1. Например, при a = 8 и b = 4 матрица платежа имеет вид

 

 

 

0   1

1   0

 

 

 

 

и ^ A может обеспечить себе средний выигрыш в размере 1/2 за одну игру, выбирая с вероятностью 50% стратегию (П–О) или (П–П). В свою очередь B, отвечая тем же (т.е. тоже выбирая свои стратегии с вероятностью 50%), может помешать A выиграть больше.

 

Отсюда видно, что в  некоторых ситуациях для достижения оптимального результата игрок A в части  играемых партий должен «блефовать» (т.е. повышать ставку, имея на руках младшую  карту); в какой именно части партий ему следует это делать, видно  из матрицы платежа.

 

Фон Нейман показал, что большой  класс конфликтных ситуаций, подобных возникающим в экономике, можно  рассматривать как матричные  игры, т.е. игры, имеющие (n×m)-матрицу платежа

 

 

 

 a11 

a21 

...

am1 

 

a12 

a22 

...

am2 

 

...

...

...

...

 

a1n 

 a2n 

...

 amn