Письменная рабоат по «Линейной алгебры»

 

15. Вычислите произведение  матриц                             и 

Решение:

Матрица -произведение матриц и имеет вид:

Ответ:                

16. Найти определитель  матрицы: 

Решение:

Для матрицы  третьего порядка                                                  определитель можно вычислить по формуле:

 
 

Согласно приведенной  выше формуле определитель матрицы  третьего порядка:

    Вычислим  определитель, используя теорему  Лапласа, для этого определим  алгебраические дополнения элементов, например, первой строки:

    

Тогда определитель матрицы          равен:

 

Ответ: 4.

17. Найти обратную  матрицу: 

Решение:

1. Вычислим определитель этой матрицы ( используя теорему Лапласа для элементов первой строки).

 
 

 
 

2. Построим  транспонированную матрицу алгебраических дополнений :

                                                                                                                            

3.  Отсюда  обратная матрица равна:
4. Проверка: .

  

                                              , 
 

Ответ:  
 
 
 

18. Вычислить , если                            ,

Решение:

1. Найдем матрицу 2А:

2. Найдем  матрицу           :

 

3. Теперь найдем сумму этих двух матриц, т.е. матрицу С :

 

Ответ:  

19. Вычислить  если

Решение:

Матрица                                                , где 

1. Найдем матрицу

 

2. Теперь найдем матрицу

 
 

Ответ:  

20. Решить уравнение: 

Решение:

 Рассмотрим  уравнение вида А*Х=В, где А, Х, В – матрицы. Умножим обе части равенства с левой стороны на множитель А^-1, тогда получим А^-1*А*Х= А^-1*В. Мы знаем, что А^-1*А = Е.

Учитывая это свойство получим  уравнение для неизвестной матрицы Х: Х= А^-1*В,

где 

1. Найдем  матрицу А^-1

Вычислим определитель этой матрицы 

 

Построим транспонированную матрицу  алгебраических дополнений :

                                                                                                                          

          

  Отсюда обратная  матрица равна:

Проверка: .

    
 

                                      , 
 

 
 
 
 

2.Найдем искомую матрицу Х:

 

Ответ: