Автор: Пользователь скрыл имя, 14 Декабря 2011 в 19:09, курс лекций
Матрицей размера mxn называется упорядоченная прямоугольная таблица (или массив) чисел, содержащая m строк и n столбцов.Числа, входящие в описание матрицы, называемые ее элементами (или компонентами), характеризуются как своим значением, так и номерами строк и столбцов. Условимся обозначать элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце, как ).
Матричные объекты
|
Определение 1.1.1. |
Матрицей размера mxn называется упорядоченная прямоугольная таблица (или массив) чисел, содержащая m строк и n столбцов. |
Числа, входящие в описание матрицы, называемые ее элементами (или компонентами), характеризуются как своим значением, так и номерами строк и столбцов. Условимся обозначать элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце, как 1).
| Определение 1.1.2. |
Числа m , n и mxn называются размерами матрицы. |
Матрицы обозначаются и записываются перечислением их элементов. Например, как: матрица с элементами , или же в развернутой форме
Матрицы принято классифицировать по количеству их строк и столбцов.
| Определение 1.1.3. |
Если
, то матрица называется квадратной,
порядка n .
Матрица размера mx1 называется m-мерным (или m-компонентным) столбцом. Матрица размера 1xn называется n-мерной (или n-компонентной) строкой. |
Отметим, что, хотя формально для обозначения строк или столбцов следует использовать двухиндексные записи или , неменяющиеся индексы принято опускать, в результате чего обозначения строк или столбцов принимают вид или, соответственно, . В этих случаях, разумеется, необходимо явно указывать, о чем идет речь: о строке или о столбце.
Некоторые часто используемые матрицы с особыми значениями элементов, имеют специальные названия и обозначения.
| Определение 1.1.4. |
Квадратная
матрица, для которой
, называется симметрической.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Нулевую матрицу будем обозначать . Квадратная матрица порядка n вида называется единичной. Единичную матрицу принято обозначать . |
Операции с матрицами
| Определение 1.1.5. |
Две матрицы и называются равными (обозначается: ), если они одинаковых размеров и если их соответствующие компоненты равны, то есть . |
| Определение 1.1.6. |
Матрица называется суммой матриц и (обозначается: ), если матрицы , , одинаковых размеров и , где числа являются соответствующими компонентами матрицы . |
| Определение 1.1.7. |
Матрица называется произведением числа l на матрицу (обозначается: ), если матрицы и одинаковых размеров и . |
Отметим, что умножать на число можно матрицу любого размера.
| Определение 1.1.8. |
Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой образуется новая матрица, где строками служат столбцы исходной, записанные с сохранением порядка их следования. |
транспонирование
Рисунок 1.1.1.
Матрица, получающаяся в результате транспонирования матрицы , обозначается , при этом (см. рис.1.1.1.)
то есть
для элементов
Операция транспонирования, например, не изменяет симметрическую матрицу, но переводит строку размера 1xm в столбец размера mx1 и наоборот.
Детерминанты (определители) квадратных матриц 2-го и 3-го порядка
Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая детерминантом (или определителем) и обозначаемая как 1). Изучение свойств определителей квадратных матриц -го порядка будет выполнено в разделе 6, здесь же ограничимся рассмотрением определителей квадратных матриц 2-го и 3-го порядков.
| Определение 1.1.9. |
Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы 2-го порядка называется число . |
| Определение 1.1.10. |
Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы 3-го порядка называется число |
Имеют место следующие теоремы:
| Теорема 1.1.1. |
Определитель
матрицы 3-го порядка
может быть выражен
через определители 2-го
порядка формулой следующего
вида: называемой разложением определителя по первой строке. |
| Доказательство:
Данная
формула проверяется | ||
| Замечания: |
2°. Иногда подсчет значения определителя матрицы третьего порядка удобнее выполнить по следующему правилу: Рисунок 1.1.2. | |
|
Непосредственная проверка показывает, что из определений 1.1.9. и 1.1.10. вытекает
| Следствие 1.1.1. |
При транспонировании квадратных матриц второго или третьего порядка их определители не меняются. |
В терминах определителей матриц второго порядка достаточно удобно формулируется условие однозначной разрешимости системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
| Теорема 1.1.2. (Крамера) |
Для того чтобы система линейных уравнений имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы . |
| Доказательство:
Докажем необходимость. Пусть данная система линейных уравнений имеет единственное решение - упорядоченную пару чисел , тогда должны быть справедливыми следующие из ее уравнений соотношения: или Равенства не верны при или при . При коэффициенты уравнений исходной системы пропорциональны, и тогда у нее имеется бесчисленное множество решений - пар чисел таких, что . Поэтому из условия существования и единственности решения следует, что . |
| Докажем достаточность.
Если , то исходная система линейных уравнений имеет решение , однозначно определяемое значениями параметров по формулам и . Теорема доказана. |