Y                                          y=f(x)

                                                                  R₁   f(b) 
 

                                                      R₂  

                                             R₃

                                                         x₂           x₁=b

              a                     x₀    x₃                     b                     x₂*          X

       f(a)

             R_a  

Рис. 2.3. Геометрическое представление метода Ньютона

  Уравнение касательной, проходящей через точку х, имеет вид

      y - f(x₁) = f ¢(x₁)×(x-x₁). (2.2)

  Полагая у=0, а х=x₂, найдем абсциссу х точки пересечения касательной с осью Ох:

      x₂ =

. (2.3)

  Следующее приближение х₃ находим по формуле:

      x₃ = x₂ – f(x₂) / f ¢(x₂). (2.4)

  Применяя  формулы уточнения значения корня  многократно, получим общий вид рекуррентной формулы метода касательных:

      x_n+1  =  x_n – f(x_n) / f ¢(x_n). (2.5)

  Процесс вычислений заканчивают обычно по условию

      |х_n+1 – x_n½ < e. (2.6)

  При значениях  e < 10^-4 погрешность вычисления корня приблизительно равна абсолютной погрешности  e.

  Заметим, что если в нашем случае в качестве первого приближенного значения корня положить х = а, то, проведя касательную в точке R_a, мы получили бы точку х₂* (рис. 2.3), которая лежит вне отрезка [а, b]. В этом случае знаки функции и ее второй производной в точке а противоположны, и сходимость метода не гарантируется. 

Рис. 2.4. Структурограмма метода Ньютона

  Таким образом, для того, чтобы использовать метод Ньютона, необходимо прежде всего вычислить значения первой и второй производных, а затем выбрать начальное приближение корня, исходя из условия f(x) × f ¢¢(х) > 0.  Заметим, что вычисления по этому методу могут оказаться очень долгими или вообще невозможными, если функция в области корня имеет малую крутизну.

  Как видно из изложенной теории, алгоритм вычислений очень прост. Изобразим его в виде структурограммы (рис. 2.4).

Метод последовательных приближений

  Метод итераций - один из наиболее распространенных способов численного решения уравнений. Сущность метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение

      f(x) = 0, (2.7)

и необходимо определить его действительные корни.

  Представим  уравнение (2.7) в форме

      x = j(х). (2.8)

  Для такого преобразования необходимо исходную функцию f(x) «разорвать» на две части - x и j(х), т.е. расписать f(x) как f(x) = x - j(х).

  Выберем каким-либо способом на отрезке [а; b], содержащем корень, приближенное значение корня x₁ (первое приближение) и подставим его в правую часть уравнения (2.8). Получим некоторое число:

      x₂ = j(х₁). (2.9)

  Подставляя  теперь в правую часть равенства (2.9) вместо x₁ число х₂, получим новое число x₃ = j(х₂). И вообще, для некоторого значения x_n+1 будем иметь рекуррентную формулу:

      x_n+1 = j(х_n). (2.10)

  Процесс последовательного вычисления уточненных значений корня по формуле (2.10) и называется методом итераций.

   Геометрически способ итераций можно пояснить следующим образом (рис. 2.5). На плоскости хОу построим графики двух функций: у = х и y = j(х). Абсцисса точки пересечения этих двух графиков является корнем  уравнения (2.8), а, следовательно, и равносильного ему уравнения (2.7). 

        Y                                                            y=x                     y=j(x)

                                                                                                   j(b) 
 
 
 
 

                                                                     j(x₁) 
 

                    j(x₃)     j(x₂) 

    0  a   x₀  x₃          x₂                            x₁                             b    X 

Рис. 2.5. Геометрическое представление метода итераций

   Процесс итераций (2.10) сходится, если значение первой производной от правой части уравнения (2.8) по абсолютной величине меньше единицы:  ½j¢(x)½ < 1.

  При практическом вычислении корней по методу итераций нужно при переходе от уравнения (2.7) к уравнению (2.8) стремиться представить функцию  j(х) так, чтобы ее производная j¢(x) была меньше единицы по абсолютной величине. За условие окончания вычислений можно принять соотношение |х_n+1 - х_n | < e.

  Алгоритм метода итераций приведен на рис. 2.6. В него добавлен счётчик    числа итераций n. 

Рис. 2.6. Структурограмма метода итераций

  Для выбора начального приближения корня  х вычисляют значения первых производных в граничных точках интервала [a, b], содержащего корень, и за исходную величину принимают ту из точек, для которой выполняется условие ½j¢(x)½ < 1. Если обе производные по абсолютной величине меньше единицы, то за начальное приближение корня берут ту из граничных точек,  для которой значение производной меньше. При соблюдении этого правила процесс итераций сходится быстрее.

2.3. Задания на нахождение корня уравнения

  Решить  задачу нахождения корня уравнения  на указанном интервале. Рекомендуется ввести в алгоритм счётчик циклов и задавать точность e = 10^-4 - 10^-5. 

3. Вычисление определенного интеграла

  Величина  определенного интеграла  численно равна площади S геометрической фигуры, образованной графиком подынтегральной функции f(x), осью абсцисс Ox и перпендикулярами, восстановленными в точках x=a и x=b на оси Ox до пересечения с кривой f(x) (рис. 3.1). Напомним, что точное значение определенного интеграла вычисляется на основе суммирования бесконечного ряда вида:

   .

  Однако  производить бесконечные вычисления с бесконечной точностью не позволит ни один реальный компьютер. Поэтому при численном подсчете интеграла необходимо ограничиться конечным (а не бесконечно малым) значением Δx.

  Для нахождения S разбиваем отрезок [a,b] на n равных частей, из точек разбиения восстанавливаем перпендикуляры до пересечения с f(x) Тем самым получаем n криволинейных трапеций, суммарная площадь S которых S₁ + S₂ + … + S_n приближается к искомой величине I. С ростом n (в некотором диапазоне) величина S становится все ближе к значению I, но совпасть «мешает» фиксированная разрядность чисел, используемых в компьютере.

  Предлагаемые  ниже методы численного решения интеграла  основаны на “аппроксимации” криволинейной трапеции S_i такой геометрической фигурой, нахождение площади которой не представляет больших трудностей.

Метод прямоугольников

  Метод основан на замене криволинейной трапеции прямоугольником, высота которого вычисляется в определённой точке интервала интегрирования [x_i, x_i + Dx], например, в левой. В этом случае значение интеграла:

I » S = [f(a) + f(a + Dx) + f(a + 2×Dx) +…+ f(a + (n - 1)×Dx)]×Dx.

Метод трапеций

  Соединяя  на каждом отрезке интегрирования точки  f(x_i) и f(x_i+Dx) отрезком прямой, получаем прямоугольную трапецию. В результате такой аппроксимации приближённое значение интеграла I можно рассчитать по формуле: