Лекции по "Математике"

Алгебраическая  запись комплексного числа выглядит так:

Тригонометрическая  запись комплексного числа выглядит так:

Экспоненциальная  запись выглядит так: (формула Эйлера)

Сложение  комплексных чисел – это сумма действительных и мнимых частей двух комплексных чисел:

• Модуль суммы комплексных чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел.

Вычитание комплексных чисел  – операция, обратная сложению.

• Модуль разности комплексных чисел больше или равен разности модулей этих чисел.

Умножение комплексных чисел -

Это же произведение в тригонометрическом виде:

Формула Муавра

Деление комплексных чисел – операция, обратная умножению, выполняется по формуле: 

Тригонометрическая  запись:    

• При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
• При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Корнем  n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству то есть

Формула деления  такова:

 

Числовая  последовательность определяется функцией заданная на множестве натуральных чисел.

Ограниченная  последовательность – последовательность, для которой существует число М>0, при котором последовательность становится меньше М при любом n.

Возрастающей называется та последовательность, каждый следующий член которой больше предыдущего.

Постоянна та последовательность, члены которой равны друг другу.

Пределом  последовательности называется число, к которому эта последовательность безгранично стремится, но никогда не будет больше или равной этому числу.

Сходящаяся  последовательность – последовательность, имеющая один предел.

Расходящаяся  последовательность - последовательность не имеющая предела.

Число – называется неперовым числом(числом Эйлера) и является основанием натурального логарифма. Так же является вторым замечательным пределом

 Приблизительно  равно 2.72…

Связь между десятичным и натуральным логарифмом такова: 

Пределом  функции в точке  называется число А, к которому сводится функция при данном .

Записывается как  

Свойства  функций, имеющих  предел.

Если функция имеет  придел при , то только один.

Если функция имеет  придел при , то она ограничена на некотором луче

Если функция имеет  придел при , то только один.

Если функция имеет  придел при то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки α 

Функция непрерывна в точке, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, то есть

Свойства  непрерывных функций:

Сумма, разность и  произведение двух непрерывных функций  в точке является непрерывной  функцией в этой точке.

Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x)

Точки разрыва функции – это точки, в которых нарушается непрерывность функции .

Точка разрыва первого  рода – точка, в которой существуют конечные пределы функции слева и справа.

=                      = 

При этом если , то точка α называется точкой устранимого разрыва.

Если , то точка α называется точкой конечного разрыва.

Величину  называют скачком функции в точке разрыва а.  

Точка разрыва второго  рода – точка, в которой по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Первый  замечательный предел 

Второй  замечательный предел 
 
 
 

Функция непрерывна на отрезке  если она непрерывна на интервале и в точке непрерывна справа, а в точке непрерывна слева.

 Функция непрерывна на интервале если она непрерывна в каждой точке интервала.

Свойства  функций непрерывных  на отрезке заключается в том, что функция ограничена на данном отрезке и достигает на нем своего наибольшего (М) и наименьшего (m) значения.

Если функция непрерывна на отрезке  и на концах принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале она имеет как минимум одну точку, в которой функция принимает нулевое значение (точку пересечения с осью).

  Обратная функция  – функция, обращающая зависимость , выражаемую данной функцией. 
 

Бесконечно малые  функции – функции, предел которых при равен нулю

Любое действие с  бесконечно малой функцией в результате дает бесконечно малую функцию.

Бесконечно  большая функция – функция, предел которой стремится к бесконечности при

Если при  функция принимает положительные значения, то предел равен

Любое действие с  бесконечно большой функцией в результате дает бесконечно большую функцию.

Если функция 

Если функция 

Сравнение бесконечно малых  функций можно осуществить найдя придел их отношения.

                     

                       β несравненно меньше α (бесконечно  малая функция более высокого  порядка малости) 

                       β бесконечно малая изшего порядка (α>β) 

 предел конечен и не равен нулю, то α и β бесконечно малые одного порядка. 

Сравнение бесконечно больших функций проходит так же – нахождением предела: 

                                 Обе функции имеют один и  тот же порядок. Если L=1 то функции эквивалентны. 
 

                                Порядок  Большести. 

Эквиваленты функций  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Теоремы о бесконечно малых  величинах:

Предел отношения  двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Разность двух бесконечно малых функций – бесконечно малая  более высокого порядка.

Сумма бесконечно малых  функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Определение производной. Производная функции в данной точке – это скорость изменения функции в этой точке. Процесс вычисление называется дифференцирование, а обратный процесс интегрирование.

Физический  смысл производная имеет если описывает некий физический процесс. В этом случае это скорость протекания процесса, либо мгновенное значение функции.

Геометрический  смысл заключается в том, что производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна .

Уравнение касательной имеет вид

Угловой коэффициент  

Угловой коэффициент нормали 

Правила дифференцирования.

.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Производная элементарных и сложных  функций 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции 

Степенная функция 

Показательная функция 

Неявно  заданная функция имеет вид . Для нахождения производной от по достаточно продифференцировать это уравнение по, рассматривая при этом как функцию .

Параметричеси заданная функция 

Функция заданна  двумя уравнениями  где t вспомогательная переменная.

Производная параметрической  функции вычисляется по формуле    

Логарифмическое дифференцирование  – метод, при котором сначала находится логарифм функции, а потом производная от него.

                       =

Степенно-показательная  функция – функция, производная которой находится только логарифмическим дифференцированием. Записывается как

Где

Производная высшего порядка  - это когда от одной функции производную берут несколько раз. Если два – то 2-ого порядка, если 3 – то 3-его порядка. 

Уравнение касательной к графику функции выглядит так:

Угловой коэффициент 

Уравнение нормали выглядит так:

Угловой коэффициент  нормали  

Дифференциал  функции в точке называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначается

, где  называется главной частью приращения

- дифференциал первого  порядка.

Или дифференциал функции  равен произведению производной  этой функции на дифференциал независимой  переменной.

Геометрический  смысл дифференциала.

Дифференциал функции  в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение

Инвариантность  формы дифференциала - свойство, проявляющееся при дифференцировании сложной функции.

• Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Дифференциал  высшего порядка – результат многократного дифференцирования функции.

Приближенное  значение функции вычисляется по формуле

  вычисления приближенного значения. 

Уравнения прямых и кривых в  параметрическом  виде и в полярной системе координат.

Окружность