Квадратичная функция

Дата добавления: 29 Ноября 2012 в 01:40
Автор: p*******@rambler.ru
Тип работы: реферат
Скачать полностью (1.41 Мб)
Работа содержит 1 файл
Скачать  Открыть 

Квадратичная функция.doc

  —  1.60 Мб


Муниципальное общеобразовательное  учреждение

Средняя общеобразовательная  школа № 64

 

 

 

 

 

 

 

Квадратичная  функция

Реферат по математическому моделированию

 

 

 

 

 

 

Исполнители:

Галиб Анна, Ушков Антон -

ученики 11 «А» класса

Руководители:

Потапенок Наталья Владимировна - учитель по математике;

Денисов Владимир Иванович -

учитель по информатике.




 

 

 

 

 

 

Лесной

2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Квадратичная функция является одной из первых, с которой мы познакомились в процессе  изучения курса алгебры. С одной стороны эта функция простая, но с другой стороны, при её изучении, мы затронем очень интересную тему - баллистика. Эта тема позволит углубить наши знания о квадратичной функции и повысить интерес учащихся к данной теме.

 

Актуальность

 

Задачи  с параметрами на квадратичную функцию и задачи, сводящиеся к  квадратичным функциям, очень популярны  на экзаменах,  ЕГЭ, школьных олимпиадах разного уровня. Квадратичная функция является одной из главных функций школьной математики для которой построена полная теория и доказаны все свойства, а от учащегося требуется четкое понимание и знание всех этих свойств.

 При этом задач на квадратичную функцию очень  много – от простых, непосредственно вытекающих из формул и теории, до сложных, требующих всестороннего анализа и глубокого понимания свойств функции.

Условия на существование корней, число корней, их значений, поведение и свойства графиков функции можно сформулировать в терминах соотношений между коэффициентами и условий на коэффициенты. По знакам коэффициентов можно однозначно восстановить эскиз графика функции, знак выражения определяет существование и число корней, выражения присутствуют в теореме Виета. Важно понимать, как влияют коэффициенты квадратичной функции, их знаки,  соотношения между ними на свойства функции и ее графика. 

Большое практическое значение при  решении задач на квадратичную функцию имеет наличие однозначного соответствия между алгебраическим описанием и геометрической интерпретацией задачи – графическим изображением и положением эскиза графика функции на координатной плоскости. С одной стороны, от учащихся требуется свободное владение свойствами квадратичной функции и умение построить соответствующую графическую интерпретацию, с другой - геометрическая интерпретация помогает проверить логическую  правильность и непротиворечивость теоретических  рассуждений.  Задачи на расположение корней квадратичной функции и сводящиеся – она из самых популярных тем в задачах с параметрами.

Цель – исследовать квадратичную функцию и осуществить ее полный анализ

 

 Задачи

Формирование обобщенных умений:

  • применять практические навыки, полученные на уроках смежных дисциплин;
  • решать задачи, требующие комплексного применения знаний, полученных в ходе изучения различных учебных предметов;
  • развитие интереса к математике и физике, к изучению связей между знаниями из смежных предметов
  • становление профессиональных интересов учащихся;
  • формирование у учащихся целостного, единого представления об окружающем мире, о взаимообусловленности явлений и процессов, а также общности законов, действующих в природе.

 

1. Исследование квадратичной функции

 1.1. Определение

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида    y = ax2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0.

1.2 График-парабола

Графиком квадратичной функции  является парабола.

 

2. Виды квадратичной функции

2.1  Функция

Область определения этой функции - множество R действительных чисел. 

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x2 , изображаем график функции.

График функции y = ax2 называется параболой.

Свойства функции у =aх2.

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0;0) - начало координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством  значений  функции у = aх2 является промежуток [0; + ∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = aх2 - четная).

5.  На промежутке [0; + ∞) функция у = aх2 возрастает.

6.  На промежутке (-∞; 0] функция у = aх2 убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует. 

2.2 Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

Свойства функции  и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

 

Свойства квадратичной функции:

-  Область определения: R;

- Область значений:

при а > 0          [-D/(4a); ∞)

при а < 0          (-∞; -D/(4a)];

- Четность, нечетность:

при b= 0     функция четная

при b≠0    функция не является ни четной, ни нечетной

- Нули:

при D > 0      два нуля: ,

при D = 0      один нуль:

при D < 0     нулей нет

- Промежутки знакопостоянства:

если, а > 0, D > 0, то     

если, а > 0, D = 0, то     

eсли  а > 0, D < 0, то     

если  а < 0, D > 0, то    

если  а < 0, D = 0, то     

если  а < 0, D < 0, то     

-         Промежутки монотонности

при а > 0 

при а < 0             

 Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1)  найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

2)  построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3)  соединить отмеченные точки плавной линией.           

 Координаты вершины параболы определяются по формулам:

.

 

3. Преобразование графиков функции

 3.1. Растяжение

Растяжение графика у = x2 вдоль оси у в |а| раз (при |а|  < 1 — это сжатие в 1/|а|  раз).

Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение  графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах2.

 

3.2  Параллельный перенос по оси Ох

Параллельный перенос графика функции у = ах2 вдоль оси х на |m|  (вправо при

m > 0 и влево при т < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)2.


3.3 Параллельный перенос по оси Оу

Параллельный перенос графика функции  вдоль оси у на |n| (вверх при     п > 0 и вниз при п < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)2 + п.


4.  Квадратное уравнение

 

  Уравнение ax+ bx + c = 0, где a ≠ 0, называется квадратным уравнением.

Выделив полный квадрат, получим  уравнение

Если то отсюда следует, что

или

Мы получили формулу корней квадратного уравнения (формулу Виета).

При D > 0 существуют два корня x1 и x2. При D = 0 корни квадратного уравнения совпадают: xx2. Наконец, при < 0 равенство невозможно, и корней у квадратного уравнения не существует.

Если D ≥ 0, то квадратичную функцию можно разложить на множители:

Таким образом y = a (x – x1) (x – x2),

где

  Если = 0, то  Если < 0, то квадратный трехчлен нельзя разложить на множители.

5. Теорема  Виета

 

Для того чтобы числа x1 и x2 были корнями уравнения ax+ bx + c = 0 (a ≠ 0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:

Доказательство

1. Необходимость. Пусть числа и являются корнями уравнения  (≠ 0).

Тогда     Имеем   

2. Достаточность. Пусть имеется система

Из  первого равенства Подставляя это значение во второе равенство, получим откуда Значит, число x1 является корнем квадратного уравнения  Аналогично доказывается, что – также корень этого уравнения.


 

6. Сечение  конуса



Парабола является одним  из конических сечений

 

Точка   является точкой экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции, и  

Если a < 0, то в этой точке достигается максимум функции, и

7. Построение  параболы по трем  точкам

Функция f (x) = ax+ bx + c при b = 0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Добиваясь поставленной цели, мы решили следующие задачи: применять практические навыки при решении задач, требующих комплексного применения знаний, полученных в ходе изучения различных учебных предметов;

Проработанный и изученный нами материал формирует становление  профессиональных интересов у учащихся, формирование целостного, единого представления об окружающем мире, о взаимообусловленности явлений и процессов, а также общности законов, действующих в природе.

 Эта тема позволила нам  расширить наше представления  о функции и ее свойствах.  Нас заинтересовала эта тема и мы углубили свои знания о ней. С помощью изучения квадратичной функции мы узнали ,что существуют разнообразные способы построения графиков.

Мы встречаемся с ней не только при решении задач и построении графиков, но и в окружающем мире. Ярким примером этого служит баллистика.

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

  1. http://e-science.ru/math/theory/?t=144

  1. http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm

  1. http://www.ido.rudn.ru/nfpk/matemat/10/main_1.htm

  1. В.А.Касьянов «Физика» 10 класс, Издательство ДРОФА, Москва 2004 год, с.61-68.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Применение

 

Траектория баллистического  движения

 

Баллистика – наука о движении снарядов, мин, пуль, неуправляемых  ракет при стрельбе (пуске). Основные разделы баллистики: внутренняя баллистика и внешняя баллистика. Исследованием реальных процессов, происходящих при горении пороха, движении снарядов, ракет (или их моделей) и т. д., занимается эксперимент баллистики. Внешняя баллистика изучает движение снарядов, мин, пуль, неуправляемых ракет и др. после прекращения их силового взаимодействия со стволом оружия (пусковой установкой), а также факторы, влияющие на это движение.

 

Графиком квадратичной функции, как  известно, является парабола. В рассматриваемом случае парабола проходит через начало координат, так из формулы:

следует, что ,y=0 при x=0. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при меньше нуля (рис. 1).

Страницы:12следующая →
Описание работы
Квадратичная функция является одной из первых, с которой мы познакомились в процессе изучения курса алгебры. С одной стороны эта функция простая, но с другой стороны, при её изучении, мы затронем очень интересную тему - баллистика. Эта тема позволит углубить наши знания о квадратичной функции и повысить интерес учащихся к данной теме.
Содержание
содержание отсутствует