Кубічне рівняння та теорема Вєта

Інструкція

1. Отже, для того щоб вирішити кубічне рівняння виду Ах ³ + Вх ² + Сх + D = 0, необхідно методом підбору знайти один з коренів рівняння. Коренем кубічного рівняння завжди є один з дільників вільного члена рівняння. Таким чином, на першому етапі вирішення рівняння, потрібно знайти всі цілі числа, на які вільний член D ділиться без залишку.
2. Отримані цілі числа по черзі підставляються в кубічну рівняння замість невідомої змінної x. Те число, яке звертає рівність у вірне, є коренем рівняння.
3. Один з коренів рівняння знайдений. Для подальшого вирішення слід застосувати метод поділу многочлена на двочлен. Многочлен Ах ³ + Вх ² + Сх + D - є діленим, а двочлен х-х ₁, де х ₁, - перший корінь рівняння - дільником. Результатом поділу буде квадратний многочлен виду ах ² + bx + с.
4. Якщо прирівняти отриманий многочлен до нуля ах ² + bx + с = 0, вийде квадратне рівняння, корені якого й будуть рішенням вихідного кубічного рівняння, тобто x ₂, ₃ = (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a

Кубі́чне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду

, де  .

Для того, щоб отримати загальний  розв'язок кубічного рівняння, потрібно його звести до канонічного вигляду

Це можна зробити шляхом ділення рівняння на старший коефіцієнт   після чого провівши заміну змінної 

При цьому коефіцієнти  будуть рівні:

[ред.]Метод Кардано

Докладніше: Формула Кардано

Введемо дві змінні   та  , такі що

підставивши їх в рівняння отримаємо

введемо додаткову умову  для змінних, а саме:

підставивши її в рівняння, та використавши   отримаємо та розв'яжемо квадратне рівняння відносно   наступним чином:

Всього є три розв'язки рівняння   один з них є

Якщо   та:

 то всі три корені рівняння є різними дійсними числами.

 то рівняння має один дійсний корінь і два комплексні.

 то всі корені рівняння є дійсними числами, при чому принаймні  два з них є однаковими.

************8

Фо́рмула Карда́но — це формула для аналітичного розв'язку канонічного кубічного рівняння виду  . Вона має вигляд:

Названа на честь Джироламо Кардано, хто перший опублікував її.

[ред.]Виведення формули Кардано

Нехай дано рівняння 

Будемо шукати його розв'язок у вигляді 

Отримаємо рівняння

Введемо додаткову  умову для змінних 

утворену систему   розв'яжемо за допомогою формули Вієта для квадратного рівняння і отримаємо:

, де   — дискримінант кубічного рівняння, звідки

Розв'язок рівняння подається у вигляді  . В комплексних числах кубічний корінь має 3 різних значення. Для отримання розв'язків потрібно вибирати такі пари значень кубічного кореня, щоб  . Таких пар обов'язково знайдеться рівно 3.

 

Кубічне рівняння, його розв’язування

         Розглянемо деякі властивості кубічних рівнянь. Рівняння виду ах³+вх²+сх+d =0, де х- змінна, а, в, с, d – параметри, причому а≠0, називають кубічним.

Загальним методом розв’язування кубічних рівнянь являється метод Кардано. Розглянемо його на прикладі розв’язування рівняння і знайдемо  дійсні корені рівняння: х³+3х²-3х-11=0

(х+1)³-6х-12=0,  t=x+1

t³-6(t-1)-12=0

t³-6t-6=0 ,   t=u+v

(u+v)³ -6(u+v) -6=0

u³+v³+3uv(u+v)-6(u+v)-6=0

u³+v³+(u+v)(3uv-6)-6=0 

3uv-6=0, якщо                  v= ,       u³+ =6 ,      u⁶-6u³+8=0,   u³=4 або   u³=2. Якщо u³=4, то=2, якщо u³=2, то=4.

t=u+v не зміниться, якщо поміняти доданки, то     ,         

u= ,     v=  , то    t=.

Відповідь:  x=.

Розглянемо деякі приклади розв’язування кубічних рівнянь.

Приклад 1 :             х³+6х²+9х+1=0.

Якщо доповнити два  перших доданка х³+6х² до формули куба суми

х³+6х²+12х+8= (х+2)³, то рівняння набуде вигляду: (х+2)³-3х-7=0.

Зробимо заміну: t=x+2, отримаємо

t³-3(t-2)-7=0

t³-3t-1=0.

Подамо змінну  t  у вигляді t=u+v.

(u+v)³-3(u+v)-1=0

u³+v³+3uv(u+v)-3(u+v)-1=0

u³+v³+(u+v)(3uv-3) -1=0.

Підберемо значення змінних u і v так, щоб 3uv-3=0, тобто uv=1.

Для знаходження u і v розв’яжемо систему.

  u=  підставимо у перше рівняння

-+1=0, =y,   y²-y+1=0, Д=1-4<0.

На множині дійсних  чисел рівняння коренів не має.

Приклад 2 :  z³+6z+2=0

Нехай z=u+v, тоді        (u+v)³+6(u+v)+2=0

                                       u³+v³+3uv(u+v)+6(u+v)+2=0

                                      u³+v³ +3(u+v)(uv+2)+2=0

uv+2, якщо ,            u=- .

(- ³+ v³=-2,       - + v³=-2,

                             v⁶+2v³-8=0,     v³=t,

t²+2t-8=0 ,     t₁=-4 та       t₂=2.

Значить, v³=-4, v₁=- ;        v³=2, v₂=.

Якщо v₁=- , то u₁=;    v₂=то u₂=- . Оскільки,   z=u+v  , то

 z=- =(1-).

Приклад 3 :   х³-6х²+11х-6=0

                      (х-2)³-х+2=0, нехай t=x-2, тоді

                       t³- (t+2) +2=0,

                       t³-t =0, t(t²-1)=0, t₁ =0,     t₂=1,   t₃=-1.

Якщо t₁ =0,     t₂=1,   t₃=-1, то х₁=2, х₂=3, х₃=1.

Приклад 4 : z³-3z²-6z+8=0,

                      (z-1)³-9z+9=0,

Нехай t=z-1, тоді  t³-9(t+1) +9=0,

                                t³-9t-9+9=0,

                                t³-9t=0,

                               t(t-3)(t+3)=0 ,     t₁=0,    t₂=0,   t₃=0.

Якщо t₁=0,    t₂=0,   t₃=0, то z₁=1, z₂=4, z₃=-2.

Приклад 5 :  х³-11х²+38х-40=0

В цьому рівнянні виділяти куб різниці незручно, тому серед  дільників вільного члена знайдемо цілі корені рівняння. При х=2 рівняння перетворюється у вірну рівність. Отже, за наслідком із теореми Безу многочлен  х³-11х²+38х-40 поділиться на х-2. Виконаємо ділення.

х³-11х²+38х-40

х³-2х²

    -9х²+38х

     -9х²+18х

               20х-40

20х-40

Отже, рівняння має вигляд: (

х₁=2,     За теоремою Вієта х₂=4, х₃=5.

Тренувальні вправи. Знайти дійсні корені рівнянь:

1. х³-3х²-х+3=0,
2. х³-3х²-3х+1=0,
3. 3х³+7х²+7х+3=0,
4. х³-2х+1=0,
5. х³-9х²+24х-17=0.

Метод  Кардано може бути застосований до будь-якого кубічного  рівняння.

Теорема Вієта  та її використання

Якщо в задачі потрібно знайти не самі корені кубічного рівняння, а значення виразів, що містять корені, то тут можна використати теорему  Вієта:

Числа х₁,х₂,х₃ є коренями многочлена Р(х) = ах³+вх²+сх+d , а≠0, тоді і лише тоді, коли

Доведемо її.

Якщо числа  х₁,х₂,х₃  є коренями многочлена  Р(х), то його можна подати у вигляді добутку Р(х)=а(х-х₁)(х-х₂)(х-х₃).

Маємо: Р(х)=ах³-а

Оскільки многочлени і набувають однакових значень, то їх коефіцієнти при однакових степенях збігаються.

Тому 

Розглянемо приклади застосування теореми Вієта.

Приклад 1. Знайти суму і добуток усіх коренів кубічного рівняння.

Розв’язання:

Приклад 2. Скільки дійсних коренів має рівняння , знайдіть суму їх квадратів.

Розв’язання: З’ясуємо скільки  дійсних коренів має многочлен  Маємо:

Оскільки на кінцях кожного  з відрізків  многочлен набуває різних знаків, то на кожному з інтервалів (-1;0), (0;1), (1;3) многочлен має дійсний корінь. Отже, многочлен має три дійсних корені х₁,х₂,х₃. За теоремою Вієта:

Приклад 3. Три числа х₁,х₂,х₃  є коренями рівняння Складіть кубічне рівняння з коренями

Розв’язання: За теоремою Вієта: . Тоді і

 

Тому за теоремою Вієта  є коренями рівняння

_{Застосування  теореми Вієта  при розв’язуванні систем рівнянь.}

Теорему Вієта можна використовувати  і при розв’язуванні систем рівнянь. Розглянемо приклад 1.

, x, y, z Є R. 
Розв’язання: Розглянемо многочлен P(t)=t³+pt²+qt+r, з коренями x,y,z.

За теоремою Вієта  p= - (x+y+z)=-3.

Оскільки (x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=x²+y²+z²+2(xy+xz+yz), то

3²=11+2(xy+xz+yz). Звідси q=xy+xz+yz=-1. Тому P(t)=t³-3t²-t+r.

Знайдемо r. Оскільки x,y,z є коренями многочлена P, то

      x³-3x²-x+r=0

+    y³-3y²-y+r=0

      z³-3z²-z+r=0

     (x³+y³+z³)-3(x²+y²+z²)- (x+y+z) +3r=0.

Використовуючи умову, маємо:

27-3*11-3+3r=0, r=3. Отже, P(t)=t³-3t²-t+3.

Розкладем многочлен на множники: P(t)=t²(t-3)-(t-3)=(t-3)(t-1)(t+1).Числа 3,-1, +1 є коренями многочлена.

Відповідь: (3;1;-1), (1;3;-1), (1;-1;3), (3;-1;1), (-1;1;3), (-1;3;1).

Приклад 2. Розв’язати систему у дійсних числах.

 Розв’язання:  Розглянемо многочлен P(t)=t³+pt²+qt+r, з коренями x,y,z. Використовуючи теорему Вієта та умову системи, знайдемо коефіцієнти p,q,r:

P=-(x+y+z)= -(- )= ,

q=xy+xz+yz=1,     r=-xyz=6. Маємо кубічне рівняння:t³-4t²+t+6=0.

За наслідком із теореми  Безу многочлен  t³-4t²+t+6 поділиться на t+1. Виконаємо ділення:

t³-4t²+t+6     _{Таким чином,} t³-4t²+t+6=( t²-5t+6)(t+1).

t³+t²                                                                       ( t²-5t+6)(t+1)=0.

    -5t²+t                                                                  t₁=-1, t²-5t+6=0, t₂t₃=6, t₂+ t₃=5, t₂ =2,                                 

     -5t²-5t                                                                  t₃=3.

               6t+6

6t+6

                     0

Відповідь:(-1;2;3),(-1;3;2),(2;-1;3),(2;3;-1),(3;-1;2),(3;2;-1).

 

Приклад 3.

Розв’язання: Розглянемо многочлен  P(t)=t³+pt²+qt+r, з коренями x,y,z. Використовуючи теорему Вієта та умову системи, знайдемо коефіцієнти p,q,r:

P=-(x+y+z)=1, q=xy+xz+yz=-5. Знайдемо r=(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+xz+yz),

(-1)²=x²+y²+z²+2(-5), x²+y²+z²=11.Оскільки x,y,z є коренями многочлена P(t)=t³+pt²+qt+r, то        x³+  x²-5x+r=0,

                        +    y³+  y²-5y+r=0

                                        z³+  z²-5z+r=0

                                       x³+y³+z³+( x²+y²+z²)-5(x+y+z)+3r=0

                                       -25+11-5(-1)+3r=0, 3r=9,r=3.

Таким чином, P(t)=t³+t²-5t+3.

За наслідком із теореми  Безу многочлен  t³+t²-5t+3поділиться на t-1. Виконаємо ділення:

t³+t²-5t+3     _{Таким чином,} t³+t²-5t+3=( t²+2t-3)(t-1).

t³-t²                                                                       ( t²+2t-3)(t-1)=0.

    2t²-5t                                                                  t₁=1, t²+2t-3=0, t₂t₃=-3, t₂  +t₃=-2, t₂ =3,                                 

     2t²-2t                                                                  t₃=1.

           -3t+3

            -3t+3

                   0

Відповідь:(1;-3;1),(1;1;-3),(-3;1;1) .

Приклад 4.

Розв’язання: Розглянемо многочлен  P(t)=t³+pt²+qt+r, з коренями x,y,z. Використовуючи теорему Вієта та умову системи, знайдемо коефіцієнти p,q,r:

P=-(x+y+z)=-6,  r=-xyz=-6. Знайдемо q.

(x+y+z)²= x²+y²+z²+2(xy+xz+yz), 6²=14+2(xy+xz+yz).

xy+xz+yz=11, q= xy+xz+yz=11.Отже, P(t)=t³-6t²+11t-6=0.

За наслідком із теореми  Безу многочлен  t³-6t²+11t-6 поділиться на t-1. Виконаємо ділення:

t³-6t²+11t-6    ^{Таким чином,} t³-6t²+11t-6  =( t²-5t+6)(t-1).

t³-t²                                                                       ( t²-5t+6)(t-1)=0.

   -5t²+11t                                                                  t₁=1, t²-5t+6=0, t₂t₃=6, t₂  +t₃=5,                                 

    -5t²+5t                                                                      t₂ =2,       t₃=3.

           6t-6

            6t-6

                 0

Відповідь:(1;2;3),(1;3;2),(2;1;3),(2;3;1),(3;1;2),(3;2;1).

Тренувальні вправи.

Розв’язати системи у дійсних числах.

1)       2)        3)

 

Вправи на застосування теореми Вієта.

Приклад 1: - комплексні числа, є коренями рівняння Знайдіть значення виразів і

Розв’язання:

                     

  Приклад 2: - комплексні корені рівняння . Знайти , якщо .

Розв’язання:

                     

Приклад 3: Рівняння має комплексні корені та . Знайти

Розв’язання:

                     

Приклад 4: Три комплексні числа є коренями рівняння . Знайдіть , якщо

Розв’язання:

    ,       

Приклад 5: Дійсні корені рівняння відносяться як 1:2:3. Знайти p і q.