Кривые второго порядка

 

     СОДЕРЖАНИЕ 
 
 

Введение…………………………………………………………………………2

1 Окружность. Эллипс…………………………………………………………..4

2 Гипербола……………………………………………………………………...7

3 Парабола……………………………………………………………………….11

Список используемой литературы……………………………………………..14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение   

  Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

  ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

  где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ≠ 0

  Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

  инварианты  относительно поворота и сдвига системы  координат:

  

  

  

  инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

  

  Многие  важные свойства кривых второго порядка  могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой:

    

  Так, например, невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

  

  Или

  λ2 − Iλ + D = 0.

  Корни этого  уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие этого, всегда вещественны:

  

  Кривые  второго порядка классифицируются на невырожденные кривые и вырожденные.

  Доказано, что кривая 2–го порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.

 

     1 Окружность. Эллипс 

     При рассмотрении уравнений прямой на плоскости  мы видели, что все они – уравнения первой степени, т. е. переменные х и у входят в них  
в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у, или обе переменные х и у, входят во второй степени, или же входит произведение х^·у (степени складываем – получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями: – урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R; – уравнение гиперболы, – уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.

     Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть – центр  
окружности. R – радиус окружности. Пусть – произвольная точка окружности. Следовательно, = =

       (1)

     (1) – уравнение окружности радиуса R c центром в точке с координатами

     Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.

     Пусть фокусы эллипса лежат на оси  Х, причем т. е. – межфокусное расстояние эллипса. 

 

      Пусть – произвольная точка эллипса. Величины называются фокальными радиусами точки М эллипса.

По определению  эллипса: r₁ + r₂ = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

(2)

Умножим (2) на

 (3)

Сложим  уравнения (2) и (3):

     

      (4)

     Возведем (4) в квадрат:

     

     Пусть

        (5)

     (5) – каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

     

     – каноническое уравнение эллипса  с центром в точке 

     Числа а и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а > , если а < , то фокусы эллипса будут на оси  Оу, если а = , то эллипс превращается в окружность.

     Точки , называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника:

     Так как 

      (6) 

     Эксцентриситетом эллипса e называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

      (7)

     Следовательно, причем когда т. е. имеем окружность.

     При стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох.

     Выразим фокальные радиусы точки  через эксцентриситет. Из (4):

      (8)

     Из (3):

     Значит, подставив координаты точки  эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М.

     Прямые  называются директрисами эллипса.

      – левая директриса,

       – правая директриса.

     Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:

      (9)

     т. е. отношение расстояния r_i от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию d_i от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса. 

     2 Гипербола 

     Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина меньшая, чем расстояние между фокусами

     Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох, причем т. е. Заметим, что

     Пусть – произвольная точка гиперболы. Как и ранее, – фокальные радиусы точки М. 

       

     По  определению гиперболы:

     

     где 

     Следовательно,

      (10)

     Умножим (10) на

     

      (11)

     Сложим  уравнения (10) и (11):

      (12)

     Возведем (12) в квадрат:

     

     

     Пусть

       (13)

     (13) – каноническое уравнение гиперболы  с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

     

     – каноническое уравнение гиперболы  с центром в точке 

     Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид:

     

     Точки называются вершинами гиперболы.

     Заметим, что если уравнение гиперболы  имеет вид

      (14)

     то  фокусы гиперболы находятся на оси  Оу, а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз.

     Так как  , то (15)

     Как и в случае с эллипсом, эксцентриситетом гиперболы называется отношение межфокусного расстояния к длине действительной оси :

      (16)

     Следовательно,

     Выразим фокальные радиусы точки  через эксцентриситет. Из (12)

     

      (17)

     Прямые  называются директрисами гиперболы.

       – левая директриса,

       – правая директриса.

     Директрисы  гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса

      (18)

     т. е. отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

     Для гиперболы важную роль играют также  прямые

      (19)

     которые являются ее асимптотами, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить)

     Следует отметить, что если уравнение гиперболы  имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так – эксцентриситет, – уравнения директрис. 

     3 Парабола 

     Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.

     Построим  уравнение параболы.

     Пусть ось Оx проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда , а уравнение директрисы .

     Число p – называется фокальным параметром параболы.

     Пусть – произвольная точка параболы. Пусть – фокальный радиус точки M. d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда

     По  определению параболы . Следовательно

     

     Возведем  это уравнение в квадрат 

     

     

       (20)

     – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.

     Точка (0; 0) – вершина параболы.

     Если  р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.

     Так как для параболы , а для эллипса и гиперболы , то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).