Контрольная работа по «Математика»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ  РФ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Центр дистанционного образования 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

По дисциплине: «Математика» 
 

Вариант №6 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:

Студент гр. ЭС(до)зс-10-1 (ЦДО)                           Котов  Алексей Юрьевич                                         

Проверил:                                                      

доцент  кафедры  Высшей математики                                    И.С. Лобанова 
 
 
 
 
 

Тюмень  

2011 
 
 
 

Задание 1

Вычислить пределы:

1)

       

                      

        

        

             0 

       

                       

        

        

             0 
 

2)  
 
 

3)  
 
 

4)  

5)  
 
 

Задание 2

Вычислить производные  следующих функций:

 
 
 

 
 

 
 

 
 

 

       
 
 
 

6.  

 
 
 
 
 
 

       
 
 
 
 

       
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 

 

     

       
 
 
 
 

Задание 3 

Исследовать сходимость знакоположительных и знакопеременных  рядов. 

а)

     Решение

     Так как 

      , ряд расходится (не выполняется необходимый признак сходимости) 

б)

     Решение

     Так как 

      , ряд сходится  
 

в)

     Решение

           

     по  признаку Даламбера 

     

      расходится, так как   

г)

     Решение

     Так как , ряд сходится, так как выполняется необходимый признак сходимости ряда 
 
 
 

д)

     Решение

Применим интегральный признак,

        

 
 
 
 

     e)

     Решение

     Применим  признак Коши, поскольку

      

 _{ряд сходится} 
 

     ж)

     Решение 

         _{второй замечательный предел, т.е. общий член ряда не стремится к 0, следовательно ряд расходится} 
 

     з)

     Решение 

     Выпишем первые пять элементов ряда:

     

      выполняется первое условие признака Лейбница

      выполнено и второе условие  ряд сходится 
 

     и)

     Решение

       

_{выполнено первое условие  признака Лейбница}

_{выполнено второе условие признака Лейбница ряд сходится} 
 
 
 

Задание 4 

Доказать, что  если , то  

     Решение 

       

              

       

       что и требовалось  доказать