Карл Фридрих Гаусс

     zⁿ – 1 = (z – 1)(z^n-1 + z^n-2 + … + z + 1) = 0

     Получим два уравнения: z = 1 и z^n-1 + z^n-2 + … + z + 1 = 0                        (2)

     Уравнение (2) имеет своими корнями  при 1≤ k ≤ n – 1. В дальнейшем будем иметь дело с уравнением (2).

     При n=3 получаем уравнение z²+z+1=0. Его корни:

     . При n=5 дело обстоит  сложнее, так как  мы получаем уравнение  четвертой степени

     z⁴+z³+z²+z+1=0,                                      (3)

     имеющее четыре корня . Хотя и существует формула Феррари для решения общего уравнения 4-й степени, пользоваться ею практически невозможно. В нашем случае помогает специальный вид уравнения (3). Чтобы решить его, разделим сначала уравнение (3) на z². Получим

     z² + 1/z² + z + 1/z + 1 = 0 или (z + 1/z)² + (z + 1/z) – 1 = 0.

       Сделаем подстановку ω =  

                                                                ω² + ω – 1 = 0                                                 (4)                                        

     Отсюда

     ω_1,2 =

     Далее можно найти 

                 = ω₁ ,            = ω₂ ,                               (5)     

     Но  это нам не нужно; для построения достаточно знать, что удвоенная  вещественная часть  равна

     2cos (2π/5) = = + = ω₁ =

     Из  того, что ω₁ – квадратичная иррациональность, следует, что и представляют собой квадратичные иррациональности. Для рассуждаем в точности также.

     Итак, для n=5 решение нашей задачи удалось  свести к последовательному решению  двух квадратичных уравнений: сначала  решается уравнение (2), корнями которого являются суммы  + и +  симметричных корней уравнения (3), а затем из уравнений (5) находятся и сами уравнения (3).

     Именно  таким путем Гауссу удалось осуществить  построение правильного 17-угольника: здесь  тоже выделяются группы корней, суммы  которых находятся последовательно  из квадратных уравнений. Но как искать эти «хорошие» группы? Гаусс находит  удивительный путь ответить на этот вопрос…

     Построение  правильного 17-угольника. «30 марта 1796 года наступает для него (Гаусса) день творческого крещения… Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единицы на основании своей теории «первообразных» корней. И вот однажды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатиугольника… Это событие явилось поворотным пунктом жизни Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филологии, а исключительно математике». (Ф. Клейн).

     Остановимся подробнее на пути, по которому двигался Гаусс. Одна из математических игр юного  Гаусса состояла в следующем. Он делил 1 на различные простые числа р, выписывая последовательно десятичные знаки, с нетерпением ожидая, когда  они начнут повторяться. Иногда приходилось  ждать долго. Для р = 97 повторение начиналось с 97-го знака, при р = 337 период равен 336. Но Гаусса не  смущали длинные  прямолинейные вычисления, он входил при их помощи в таинственный мир  чисел. Гаусс не поленился рассмотреть  все р<1000.

     Известно, что Гаусс не сразу попытался  доказать периодичность получающейся дробив общем случае (р≠2, 5). Но вероятно, доказательство не затруднило его. В  самом деле, достаточно лишь заметить, что следить надо не за знаками  частного, а за остатками! Знаки начинают повторяться после того, как на предыдущем шагу остаток равнялся 1. Значит надо найти такое k, что 10^k – 1 делится на р. Так как имеется лишь конечное число возможных остатков (они заключены между 1 и р-1),  для каких-то k₁ > k₂ числа 10^k1 , 10^k2 при делении на р дадут одинаковые остатки. Но тогда 10 ^{k1 – k2} – 1 делится на р.

     Несколько труднее показать, что в качестве k всегда можно взять р – 1, т.е. 10^р-1 – 1 при р ≠2,5 всегда  делится на р. Это частный случай теоремы, носящей название малой теоремы Ферма. Когда Ферма (1601 – 1655) открыл ее, он писал, что его «озарило ярким светом». Теперь ее переоткрыл Гаусс. ОН всегда будет ценить это утверждение: «Эта теорема… заслуживает величайшего внимания как вследствие ее изящества, так и ввиду ее выдающейся пользы».

     Гаусса  интересует наименьшее k, для которого 10^k – 1 делится на р. Такое k всегда является делителем р – 1. Иногда оно совпадает с р – 1 (например, для р=7, 17, 19, 23, 29). До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно число таких р.

     Гаусс заменяет 10 на любое число a и интересуется, когда а^k – 1 не делится на р при k<р – 1 (предполагается, что а не делится на р). Такие р принято называть первообразными корнями для а. Условие того, что р – первообразный корень, равносильно тому, что среди остатков от деления 1, а, а², … , а^р-2 на р встречаются все ненулевые остатки 1, 2, … , р – 1.

     Гаусс не знал тогда, что первообразными корнями  интересовался уже Эйлер (1707 – 1783) , который предполагал (но не смог доказать), что для каждого простого числа  существует хотя бы один первообразный  корень. Первое доказательство гипотезы Эйлера дал Лагранж (1752 – 1833); очень  изящное доказательство дал Гаусс. Но это было позднее, а пока Гаусс  манипулировал с конкретными  примерами. Он знал, например, что для  а = 17 число 3 является первообразным  корнем. В приводимой ниже таблице  в первой строке стоят значения k, а под ними остатки от деления 3^k на 17. Стоит обратить внимание на то, что во второй строке встречаются все остатки от 1 до 16, что и означает первообразность 3 для 17.

     Эти вычисления и легли в основу группировки  корней уравнения

     Z¹⁶ + z¹⁵ + z¹⁴ + … + z + 1 = 0                                    (6)

     (с  тем чтобы свести решение его  к цепочке квадратных уравнений). Идея Гаусса состоит в том,  что надо перейти к другой  нумерации корней. Присвоим корню  ε_k новый номер l (обозначается ε_[l]), если 3^l при делении на 17 дает остаток k. При переходе от одной нумерации к другой можно пользоваться таблицей, находя k во второй строке, а соответствующее l над ним в первой строке, но удобнее пользоваться рисунком, где по внешней стороне окружности написаны старые номера, а по внутренней – новые. Именно эта нумерация позволила Гауссу, разбивая корни (6) на группы, свести решение (6) к цепочке квадратных уравнений.

     

     Именно, на первом шагу  берутся σ_2,0 , σ_2,1 – соответственно сумы корней ε_[l] с четными и нечетными l (в каждой сумме по 8 корней). Эти суммы оказываются корнями квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами. Далее, берутся суммы σ_4,0 , σ_4,1 , σ_4,2 , σ_4,3 четверок корней ε_[l] , у которых l при делении на 4 дает фиксированный остаток. Показывается, что эти величины являются корнями квадратных уравнений, у которых коэффициенты арифметически выражаются через σ_2,0 , σ_2,1 . Наконец, образуются суммы σ_s,I пар корней ε_[l] , у которых l при делении на 8 дает остаток i. Для них выписываются квадратные уравнения с коэффициентами, просто выражающимися через σ_4,j . Имеем: σ_s,0 = 2 cos (2π/17) и из квадратичной иррациональности σ_s,0 следует возможность построения правильного семнадцатиугольника циркулем и линейкой. Поучительно записать разбиение корней на группы в старой нумерации. Но в таком виде угадать разбиение не возможно. Теперь реализуем только что описанный путь.

     Подробные вычисления. Теперь мы докажем квадратичную иррациональность корней 17-й степени из единицы. Отметим, что ε_kε_l = ε_k+l  (если k+l ≥17, то k+l заменяется остатком от его деления на 17), ε_k = (ε₁)^k. Прежде всего отметим, что ε₁ + ε₂ + … + ε₁₆ = ε_[0] + ε_[1] + … + ε_[15] = – 1 .

     (В  этом можно убедиться, например, рассматривая это выражение как  сумму геометрической прогрессии.)

     Обозначим через σ_m,r  сумму ε_[k] с теми k, которые дают остаток r при делении на m. Получаем

     

     Ясно, что 

     

     Можно показать, что 

     

     Теперь, воспользовавшись теоремой Виета, мы можем  составить квадратное уравнение, корнями  которого будут σ_2,0 , σ_2,1 :

     

     Чтобы различить корни, опять воспользуемся  рисунком. В каждую из сумм корни  входят вместе со своими сопряженными. Ясно, что σ_2,0 > σ_2,1 (в первом случае нужно сложить и удвоить вещественные части корней ε₁ , ε₂, ε₄ , ε_8, во втором – ε₃, ε₅ , ε₆ , ε₇). Итак,

     

     Рассмотрим  суммы четверок корней:

     

     Имеем: σ_4,0 + σ_4,2 = σ_2,0 ; σ_4,1 + σ_4,3 = σ_2,1 . Можно показать далее, что σ_4,0 × σ_4,2 = σ_2,0 × σ_2,1 = – 1 , а значит, σ_4,0 , σ_4,2 – корни уравнения x² – σ_2,0 x – 1 = 0. Решая это уравнение и учитывая, что σ_4,0 > σ_4,2, получаем после несложных преобразований

     

     Аналогично  показывается, что 

     

     Переходим к заключительному этапу. Положим

     

     Можно было бы рассмотреть еще шесть  такого рода выражений, но нам они  не потребуются, так как достаточно доказать квадратичную иррациональность σ_s,0 = 2 cos (2π/17), что уже позволяет построить правильный семнадцатиугольник. Имеем σ_8,0 + σ_8,4 = σ_4,0 ; σ_8,0 × σ_8,4 = σ_4,1 ; из рисунка видно, что σ_8,0 > σ_8,4 , а потому σ_8,0 – больший корень уравнения x² – σ_4,0 x + σ_4,1 = 0, т.е.

     

     Мы  несколько преобразовали непосредственно  получаемое выражение для ;

     Пользуясь полученной формулой для cos (2π/17), построение правильного 17-угольниука можно выполнить  при помощи элементарных правил построения выражений, являющихся квадратичными  иррациональностями. Разумеется, получится  весьма громоздкая процедура. В настоящее  время известны довольно компактные способы построения. В одном отношении  формула для cos (2π/17) не оставляет  сомнения. Прийти к ней в рамках традиционных геометрических идей времени  Евклида невозможно. Решение Гаусса принадлежало другой эпохе в математике. Отметим, что наиболее содержательное утверждение – принципиальная возможность  построение правильного 17-угольника. Сама процедура построения не столь существенна. Для доказательства возможности  построения было достаточно убедиться, что на каждом шаге возникали квадратные уравнения с коэффициентами – квадратичными иррациональностями, не выписывая точных выражений (это становится особенно существенным при переходе к большим показателям).

     В рассказанном решении уравнения (6) остался совершенно невыясненным вопрос о том, почему оказалось удачным  разбиение корней, использующее нумерацию  ε_[l], как можно догадаться положить ее в основу решения? Сейчас мы, по существу, еще раз повторим решение, обнажив ключевую идею – исследование симметрий в множестве корней.