Качественное исследование модели динамики малого предприятия в условиях кредитования

      (1.5) - зависимость государственной поддержки от объемов кредитования;

      (1.6) - уравнение динамики фондов (капитала) малого предприятия.

      Из  соотношений (1.2), (1.3) и (1.4) получим явное выражение для показателя чистой прибыли предприятия M(t).

            (1.8)

      Вводя обозначения 

      

 

      получаем  следующую линейную зависимость  M(t) от переменных A(t) и :

             (1.9)

      Подставив (1.9) в (1.6) и обозначив , получаем следующее линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

          (1.10)

      Решение линейного дифференциального уравнения (1.10) зависит от вида функций K(t), , , определяемых условиями кредитования.

      В качестве примера рассмотрим три  типовых схемы кредитования, различные  комбинации которых позволяют достаточно полно представить множество  условий предоставления кредитов малым  предприятиям в реальной экономической практике [2].

      В целях удобства сопоставления схем будем считать общим для них единый способ кредитования рассматриваемого малого предприятия – формирование «кредитной линии». При этом общий объем выделяемых кредитных ресурсов распределен в периоде [0,T] по некоторому известному закону K(t), отображаемому соответствующим классом функций (линейная или нелинейная зависимость), а схемы кредитования различаются условиями (механизмами) погашения долга:

• "воздушный шар" (в этой схеме период погашения долга приходится на конец периода кредитования, причем в этот момент предполагается либо единовременное погашение всей задолженности по кредиту, либо возврат только основного долга, но с процентными выплатами в течение всего срока кредитования);
• равномерное погашение (функция выплаты долговых обязательств имеет линейный характер);
• «кредитные каникулы» (выплата долговых обязательств начинается с некоторого момента интервала кредитования).

      Рассмотрим  процесс формирования «кредитной линии», то есть найдем величину потока кредитов K(t) для конкретного вида функции. Будем считать K(t) убывающей линейной функцией времени, заданной на интервале [0,T] и описывающей на этом интервале процесс равномерного распределения инвестиций объема . Данный вид зависимости является типичным, так как затраты начальных этапов большинства инвестиционных проектов обычно бывают наиболее капиталоемкими.

      Итак,

      где w₁ и w₂ параметры зависимости, определяемые из условий (1.11):

               (1.11)

      Отсюда

                

            

      Таким образом, получаем:

                

              

      Исследуем на периоде [0,T] процесс формирования кредитной задолженности D, которая определяется величиной начисленных процентов с непрерывными темпами роста r для кредитного потока K(t).

          (1.12)

      Вычислим  интеграл выражения (1.12) как алгебраическую сумму двух интегралов.

              

        

      Подставляя  результаты интегрирования в выражение (1.12), получим:

        (1.13)

      Рассмотрим  процесс погашения кредитной  задолженности по различным схемам кредитования. Введем соответствующий индекс номера кредитной схемы i = 1, 2, 3 и рассчитаем величины A_i(t). 

 

      

      2. Решение модели по схемам кредитования малого предприятия 

1. Схема «Воздушный шар» (i=1)

 

      Согласно  этой схеме кредитование осуществляется на всем периоде [0,T], а погашение всего долга осуществляется в конце срока кредитования, то есть в момент времени Т. В условиях относительно небольшой величины кредитов, предоставляемых обычно малым предприятиям (а, следовательно, и небольших процентов по ним), данная схема имеет достаточно широкое распространение в сфере малого бизнеса. Эта схема имеет две модификации:

• выплата процентов по долгу в течение периода кредитования;
• выплата процентов и основного долга общей суммой единовременно в момент окончания срока кредитования Т.

      Рассмотрим  первую модификацию, в соответствии с которой на интервале [0,T] в течение  срока кредитования основной долг не погашается, а осуществляются равномерно только процентные выплаты, включаемые в себестоимость; тогда

            (2.1)

      В этих условиях с учетом (2.1) основное уравнение динамики основных фондов, как решение дифференциального уравнения (1.10), примет вид:

         (2.2)

      где A₀ - начальное значение фондов;

       - параметр, определяющий эффективность предприятия и темп его роста.

      Вычислим  последовательно соответствующие интегралы:

          (2.3)

      где  

            (2.4)

      где  

      Подставляя (2.3) и (2.4) в соотношение (2.2) для A₁(t) получим следующее выражение:

        

      где 

      Обозначив , получим окончательно:

            (2.5)

      для tÎ[0,T].

      Соотношение (2.5) характеризует в рассматриваемом случае динамику малого предприятия как сумму экспоненциальной и линейной функций, параметры которых зависят как от внутренних, так и внешних управляющих переменных, входящих в и .

      Вторая  модификация схемы «воздушный шар» предполагает следующие условия  погашения долга:

             

             

      Иными словами, в соответствии со второй модификацией этой схемы, выплата процентов и  погашение основного долга производится в конце периода. Очевидно, что динамика основных фондов по второй модификации соответствует (с точностью до констант) динамике по первой модификации. Это означает, что в соотношении (2.5) при расчете константы для интервала [0,T] следует считать , а для момента времени T+0 следует положить .

      Таким образом, имеем:

          

         

2. Схема равномерного погашения кредита (i=2)

 

      По  этой схеме период кредитования и  период погашения долга совпадают, причем ежегодная сумма погашения  задолженности является постоянной. Данная схема является достаточно распространенной как среди малых, так и среди крупных предприятий.

      Пусть кредитная задолженность размером D, погашается равномерно так, что:

             

              

      Тогда, в соответствии с общим решением основного дифференциального уравнения (1.10), имеем для второй схемы погашения кредита:

         (2.6)

      Сопоставляя соотношения (2.6) и (2.2), убеждаемся в том, что формулы для расчета величин и различаются одним слагаемым, связанным с погашением основного долга , а именно:

            (2.7)

      Тогда (2.6) с учетом (2.5) и (2.7) примет вид:

          

      Раскрывая выражение для  согласно (2.5) и вводя новые обозначения для констант, получаем:

            (2.8)

      где 

      Таким образом, динамика основных фондов подчиняется  принципиально тем же закономерностям, что и для первой схемы. 

3. Схема «кредитных каникул» (i=3)

 

      Данная  схема рассматривается как одна из льгот, предоставляемых малым предприятиям. В течение срока кредитных каникул [0,q) погашение долга и процентов по нему не производится, а затем, в течение периода [q,T] осуществляется выплата задолженности, например, по схеме ее равномерного погашения. В данной схеме период погашения долга представляет собой значительную часть периода кредитования; при этом

              

             

              

             

      Можно видеть, что третья схема является комбинацией первой схемы (если рассматривать вторую ее модификацию) и второй схемы, причем точкой их «стыковки» является момент времени q. Сложность третьей схемы состоит в необходимости сопряжения указанных двух схем в точке q. Это означает, что константа интегрирования должна быть подобрана из условий равенства значений соответствующих функций и друг другу в точке q, что обеспечит непрерывность рассматриваемой зависимости .

      Очевидно, что для любого tÎ[0, q) будет выполнено

            (2.9)

      где

      Данное  выражение для  может быть получено из соотношения (2.32), в котором рассчитывается на отрезке [0,T].

      Для любого tÎ[0, q) выражение для определяется как решение уравнения (1.10), но с учетом других пределов интегрирования и новых начальных условий. Это означает, что по аналогии с соотношением (2.6), описывающим динамику основных фондов для схемы равномерного погашения долга, можно записать:

         (2.10)

      где tÎ[0, q) и c - константа интегрирования, соответствующая начальному значению основных фондов в точке q.

      Перейдем  к интервалу [q,T] и повторим ту же последовательность действий, которая была осуществлена ранее для расчета динамики основных фондов (см. соотношения (2.3)-(2.5)), и вычислим интеграл:

           (2.11)

      С учетом того, что:

              

     

      имеем:

        (2.12)

      где в соответствии с ранее сделанными обозначениями.

      Подставляя (2.12) в (2.10) и учитывая, что

           

      а также, что и

      получаем:

          (2.13)

      Приравнивая (2.13) и (2.10) для t=q, приходим к уравнению для определения константы c:

             

             

               (2.14)

      где