Элементарные функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ЮЖНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.О.АУЕЗОВА

КАФЕДРА: ТиМДиНО

На тему:               Функции.

Выполнила: Исмаилова Ч. С.

Группа: ФИ 10 – 10 Р

Приняла: Абдрахманова А.Н,

ШЫМКЕНТ 2011

План

I.                   Введение

II.                Свойства и графики функций

1.       Степенная функция

2.       Квадратичная функция

3.       Показательная функция

4.       Логарифмическая функция

5.       Обратно пропорциональная зависимость

6.       Тригонометрические функции

III.            Список использованной литературы

I.                  введение

К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

II. свойства и графики элементарных функций

1.       степенная функция

Степенной функцией называется функция вида f(x)=x, где  - любое действительное число, называемое показателем степени.

Свойства степенной функции.

1.      Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.

2.      Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.

3.      Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.

4.      Степенная функция непрерывна во всей области определения.

5.      Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле

(x)= .x-1.

6.      Степенная функция x монотонно возрастает во всей области определения при <0.

  0          1                    x                    0           1                    x                                

         Рис. 1                                               Рис. 2

7.      При  <0 и >1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<<1 – вогнутостью вниз.

Графики степенной функции при некоторых значениях  приведены на Рис. 1 и Рис. 2.

2.       квадратичная функция

Функция f(x)=ax2+bx2+c, где a, b, c – некоторые действительные числа (a0), называется квадратичной функцией. График квадратичной функции называется параболой.

Квадратичная функция может быть приведена к виду

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a,   (1)

выражение b2-4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Представление квадратной функции в виде (1) называется выделением полного квадрата.

Свойства квадратичной функции и ее график

1.      Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.

2.      При b0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция – четная.

         Рис. 3                                                   Рис. 4

3.      Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.

4.      Функция имеет единственную критическую точку

x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.

Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.

Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы.

5.      Область изменения функции: при a>0 – множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +); при a<0 – множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

6.      График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b2-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке     x=-b/(2a); если b2-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.

         Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) – образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).

         График функции

f(x)=ax2+bx+c

(или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями:

а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);

б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;

в) параллельным переносом r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

   3. показательная функция

Показательной функцией называется функция вида f(x)=ax, где а – некоторое положительное действительное число, называемое основанием степени. При а=1 значение показательной функции при любом значении аргумента равно единице, и случай а=1 далее не будет рассматриваться.

Свойства показательной функции.

1.      Область определения функции – вся числовая прямая.

2.      Область значения функции – множество всех положительных чисел.

3.      Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(ax) =axlna

4.      При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.

5.      Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

6.      График любой показательной функции пересекает ось 0y   в точке y=1.

7.      График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.

График показательной функции при значении а=2 изображен на рис. 5                                                                                           

     Рис. 5                                                                                       

4. Логарифмическая функция

Функцию, обратную показательной функции y=ax, называют логарифмической и обозначают

y=loga x.

Число а называется основанием логарифмической функции. Логарифмическую функцию с основанием 10 обозначают

lg x,

а логарифмическую функцию с основанием е обозначают

ln x.

Свойства логарифмической функции.

1.      Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +).

2.      Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.

3.      Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(loga x) = 1/(x ln a).

4.      Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.

5.      При любом основании a>0, a1, имеют место равенства

loga 1 = 0, loga a =1.

6.      При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.

        График логарифмической функции при а=2                изображен на рис. 6.

                        Рис. 6

Основное логарифмическое тождество.

Обратной функцией для показательной функции y=ax будет логарифмическая функция x =loga y. По свойствам взаимно обратных функций f и f-I

f(f-I (y))=y

для всех x из области определения функции f-I(х). В частности, для показательной и логарифмической функции равенство (1) принимает вид

alogay=y.

Равенство (2) часто называют основным логарифмическим тождеством.

    При любых положительных х, у для логарифмической функции верны следующие равенства, которые могут быть получены как следствия основного логарифмического тождества (2) и свойства показательной функции:

loga (xy)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga (x)= loga x       ( - любое действительное число);

logaa=1;

loga x =( logb x/ logb  a)   (b – действительное число, b>0, b1).

В частности из последней формулы при а=е, b=10 получается равенство

ln x = (1/(ln e))lg x.       (3)

Число lg e называют модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обозначают буквой М, а формулу (3) обычно записывают в виде

lg x =M ln x.

5. обратно пропорциональная зависимость

Переменную y называют обратно пропорциональной переменной x, если значения этих переменных связаны равенством y = k/x, где k – некоторое действительное число, отличное от нуля. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Если считать x независимой переменной, а y – зависимой, то формула y = k/x определяет y как функцию от x. График функции y = k/x называется гиперболой.

                           Рис. 7

Свойства функции y = k/x.

1.      Область определения функции – множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

2.      Область значения функции – множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

3.      Функция f(x) = k/x – нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат. Функция f(x) = k/x непрерывна и дифференцируема во всей области определения. f(x) = -k/x2. Функция критических точек не имеет.

4.      Функция f(x) = k/x при k>0 монотонно убывает в       (-, 0) и (0, +), а при k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

5.      График функции f(x) = k/x при k>0 в промежутке    (0, +) направлен вогнутостью вверх, а в промежутке      (-, 0) – вогнутостью вниз. При k<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

График функции f(x) = k/x для значения k=1 изображен на рис. 7.

7.       тригонометрические функции

Функции sin , cos , tg , ctg  называются тригонометрическими функциями угла . Кроме основных тригонометрических функций sin , cos , tg , ctg  существуют еще две тригонометрические функции угла  - секанс и косеканс, обозначаемые     sec  и cosec  соответственно.

sin х

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

Свойства функции sin х.

1.      Область определения – множество всех действительных чисел.

2.      Область значения – промежуток [-1; 1].

3.      Функция sin х – нечетная: sin (-х)=- sin х.

4.      Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

       sin (х+2)= sin х.

5.      Нули функции: sin х=0 при x=n, n  Z.

6.      Промежутки знакопостоянства:

    sin х>0 при x  (2n; +2n), n  Z,

    sin х<0 при x  (+2n; 2+2n), n  Z.

7.      Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х) =cos x.

8.      Функция sin х возрастает при x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n  Z,

      и убывает при x ((/2)+2n; ((3)/2)+ 2n), n  Z.

9.      Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-/2)+2n, n  Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(/2)+2n, n  Z.

График функции y=sin х изображен на рис. 8. График функции sin х называют синусоидой.

        Рис. 8

Свойства функции cos х.

1.     Область определения – множество всех действительных чисел.

2.     Область значения – промежуток [-1; 1].

3.     Функция cos х – четная: cos (-х)=cos х.

4.     Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

       cos (х+2)= cos х.

5.     Нули функции: cos х=0 при x=(/2)+2n, n  Z.

6.     Промежутки знакопостоянства:

    cos х>0 при x  ((-/2)+2n; (/2)+2n)), n  Z,

    cos х<0 при x  ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), n  Z.

7.     Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х) =-sin x.

8.     Функция cos х возрастает при x (-+2n; 2n), n  Z,

      и убывает при x (2n;  + 2n), n  Z.

9.     Функция cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=+2n, n  Z, и максимальные значения, равные 1, при х=2n, n  Z.

График функции y=cos х изображен на рис. 9.

                                       Рис. 9

Свойства функции tg х.

1.     Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме числа х=/2+n, n  Z.

2.     Область значения – множество всех действительных чисел.

3.     Функция tg х – нечетная: tg (-х)=- tg х.

4.     Функция tg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен :