Автор: Пользователь скрыл имя, 21 Мая 2013 в 23:02, реферат
Гиперболические функции во многом аналогичны обыкновенным тригонометрическим функциям cosx и sinx, и тесно связаны с гиперболой, имеющие к ней такое же отношение, какое имеют cosx и sinx к окружности.
Цель - подробно и доступно изложить материал, выявить аналогии гиперболических и тригонометрических функций.
Задачи - рассмотреть понятия гиперболических функций, их свойства, определить через уравнение гиперболы, а также исследование функций при помощи интеграла, проследить связь с показательной и тригонометрическими функциями.
у = Агsh х (ареа-синус), если х = sh у,
у = Агсh х (ареа-косинус), если х= ch у,
у = Агth х (ареа-тангенс), если х = th у,
у = Агсth х (ареа-котангенс), если х = cth у.
Названия (и частица Аг в обозначениях) происходят от латинского слова «агеа» — площадь, чем еще раз подчеркнута связь, существующая между площадью гиперболического сектора и гиперболическими функциями, а следовательно, и обратными к ним ареа-функциями.
Ареа-функции можно легко выразить через логарифмическую функцию, в результате чего получим следующие соотношения:
Действительно, рассматривая в уравнениях
и
определяющих собой функции chy и shyвеличину еy = как неизвестную, приходим к квадратным уравнениям
и ,
или
и
Решая эти уравнения, получаем соответственно
и
Так как, = еу всегда положительно, то во втором равенстве можно отбросить знак минус, а в первом равенстве надо сохранить оба знака.
Переходя к логарифмам, имеем: ,
Так как и, соответственно,
.
Равенства доказываются аналогично.
Рис. 8.
Графики обратных гиперболических функций представлены на рис. 8 и 9. Функция Агshx я однозначно определена на всей числовой оси. Функция Агshx определена лишь на полусегменте [1; ) и здесь двузначна: ее значения равны
по абсолютной величине, но отличаются знаком. Обычно рассматривают лишь положительные значения, и на рис. 6 соответствующая ветвь графика, которую называют главной ветвью, начерчена сплошной линией. При этом условии функция Агshx: становится однозначной.
Рис. 9.
Функции Аrthx и Агcthx однозначны. Первая из них определена лишь в незамкнутом промежутке (—1; 1), вторая—лишь вне промежутка (—1; 1). Прямые х= 1 служат асимптотами для линий у = Агthх и у = =Агcthx.
Формулы дифференцирования ареа-функций можно вывести либо пользуясь правилом дифференцирования обратных функций, либо применяя правило дифференцирования сложных функций к выражениям
.
В результате приходим к следующим формулам:
; ;
; .
Замечание. Обе формулы ; , на первый взгляд, совпадают между собой, но это не является противоречием, так как первая из них имеет место только в незамкнутом интервале —1<x<+1, а вторая применима лишь при x<-1 и x>1.
Из ; и ; , произведя в них для общности результата замену ,
получаем соответствующие формулы для обратных гиперболических функций:
; ,
; ,
В заключение остановимся еще на одном принципиальном вопросе. Формулу
можно принять в качестве определения одной из обратных гиперболических функций. При этом существенно то, что новая трансцендентная функция определяется своим интегралом и что ее производной является подынтегральная функция
, поведение которой мы можем легко изучить на всей действительной оси. Повторив все изложенное выше в обратном порядке, построим полную теорию гиперболических функций, причем числовые значения новых функций можно находить из соответствующих интегралов при помощи формул численных квадратур.