Геометрические векторы. Основные определения

Геометрические  векторы. Основные определения

 

      В математике, физике, теоретической  механике приходится иметь дело с  величинами двух типов: одни имеют чисто  числовой характер; другие же имеют  не только числовую характеристику, но и связаны с понятием о направлении  в пространстве. Рассмотрим, например, температуру, массу, энергию, скорость, ускорение, силу. Отличие последних  трех величин от первых трех состоит  в том, что с ними должно быть связано  понятие о направлении. Первые три  величины, не связанные с понятием о направлении, называются скалярами. Остальные три величины, имеющие  определенное направление, называются векторами.

      Так, при измерении температуры, мы получим  положительное или отрицательное  число, характеризующее ее величину в градусах. Точно так же можно  измерить массу, энергию.

      Определение 1. Скаляром называется величина, характеризующаяся  только числом.

      Следовательно, скаляры - это обычные числа, и  различие между двумя одинаковыми  числами может заключаться лишь в их размерности (м и см, м и кг).

      Если  необходимо измерить такую величину, как скорость точки, то для этого  знать два числа (путь и время) недостаточно. Необходимо еще знать, куда двигается точка, то есть ее направление  движения.

      Определение 2. Вектором называется величина, характеризующаяся  не только численным значением, но и  направлением в пространстве.

      Следовательно, утверждать, что если обе точки  движутся со скоростью 2 , то их скорости равны, нет никакого основания. Необходимо знать в какие стороны они двигаются.

      Из  сказанного следует, что для описания скаляра достаточно написать число  и указать его размерность. Для  описания векторной величины используют направленные отрезки, длина которых  при выбранном масштабе соответствует  величине вектора, а направление - совпадает  с направлением векторной величины. В дальнейшем эти отрезки и  будем называть геометрическими  векторами.

      При изображении вектора одна точка, ограничивающая вектор, называется началом, а вторая - концом вектора. В конце  вектора ставится стрелка. Для краткой  записи вектор можно обозначить с  помощью двух букв (первая соответствует началу, вторая - концу) или же одной буквы (здесь начало и конец не обозначены).

      

        

      Определение 3. Расстояние между началом и  концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается или .

      Определение 4. Вектор, у которого конец совпадает  с началом, называется ноль вектором и обозначается .

      Определение 5. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной  прямой или параллельных прямых. Векторы называются коллинеарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

      Определение 6. Два вектора  и называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.

      Записывается  это так  .

      Из  определения 6 следует, что вектор можно  переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую  точку пространства. При этом каждый новый вектор будет равен исходному.

      Однако  следует отметить, что все сказанное  выше связано с так называемыми  свободными векторами. Кроме них  существуют еще передвижные и  определенные векторы. У свободных  векторов точку приложения можно  выбирать где угодно. У передвижных - точку приложения можно перемещать вдоль самого вектора (например, сила, приложенная к твердому телу). У определенных векторов точка приложения должна быть зафиксирована (например, сила, действующая на жидкость). Но изучение всех векторов можно, в конечном счете, свести к изучению свободных векторов, поэтому в дальнейшем мы будем заниматься только ими.

2. Простейшие операции  над векторами

 

      К простейшим операциям над векторами  относится сложение и вычитание  векторов и умножение вектора на скаляр. Все эти операции называются линейными.

      1) Сложение векторов.

      Определение 1. Чтобы найти сумму двух векторов и , необходимо конец вектора совместить с началом . Вектор , соединяющий точки и , будет их суммой. 

      

        

      Обозначается  сума следующим образом: . Величину ее можно найти и другим способом. Начала векторов и совмещаются и на них как на сторонах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов.

 

      

        

      Из  правила параллелограмма видно, что сумма векторов обладает переместительным свойством 

       .

      Если  слагаемых больше, например, три: , поступают следующим образом. Строят вначале сумму , а затем, прибавляя , получают вектор .

      

        

      Из  рисунка видно, что тот же результат  будет, если сложить вначале  , а затем прибавить , то есть сумма векторов обладает сочетательным свойством: 

       . 

      Если  при сложении нескольких векторов конец  последнего совпадает с началом  первого, то сумма равна ноль вектору  . Очевидно, .

      2) Разность векторов.

      Определение 2. Разностью двух векторов и называется такой вектор , сумма которого с вычитаемым дает вектор .

      Значит, если , то .

      Из  определения суммы двух векторов вытекает правило построения разности. Откладываем из общей точки векторы  и . Вектор соединяет концы векторов и и направлен от вычитаемого к уменьшаемому. 

        

      Видно, что если на векторах и построить параллелограмм, то одна его диагональ соответствует их сумме, а вторая - разности.

      3) Умножение вектора на число.

      Определение 3. Произведением вектора  на число называется вектор , определенный следующими условиями: 

      1) ; 

      2) вектор  коллинеарен вектору ;

      3) векторы  и направлены одинаково, если , и противоположно, если .

      Очевидно, что операция умножения вектора  на число приводит к его растяжению или сжатию. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на . Отсюда,  

       . 

      Из  определения 3 следует, что если , то векторы и коллинеарны. Отсюда вытекает определение коллинеарности векторов.

      Определение 4. Любые два вектора  и коллинеарны, если связаны соотношением , где - некоторое число.

      Величину  можно определить из отношения . Оно положительно, если векторы направлены в одну сторону, и наоборот отрицательно, если направление векторов противоположно.

      Из  построения параллелограмма легко  убедиться, что умножение вектора  на число обладает распределительным  свойством: 

       ;  

      и сочетательным свойством 

       . 

      Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или  ортом.

      Обозначаются  единичные векторы символами  или .

      Используя понятие единичного вектора, любой  вектор можно представить следующим  образом: .

3. Проекция вектора  на ось

 

      В процессе выполнения простейших операций иногда приходится сталкиваться с таким  понятием, как проекция вектора на какую-либо ось. Введем вначале понятие  угла между векторами.

      Определение 1. Углом между векторами  и называется наименьший угол , на который надо повернуть один из векторов до совмещения со вторым.

      

        

      Положительным считается отсчет угла против часовой  стрелки.

      Пусть необходимо найти проекцию вектора  на ось . Выберем на оси начало отсчета 0 и масштаб. Совместим с началом отсчета единичный вектор . Тогда угол между и осью будет равен углу между и . Спроецируем начало и конец вектора на ось . Тогда длина отрезка , а . Длина же проекции вектора : 

       .

      

      

      Рис. 1 

      Определение 2. Проекцией вектора  на ось называется разность между координатами проекций конца и начала вектора на ось .

      Очевидно, что если - острый угол, проекция положительна; если - тупой угол, то отрицательна; если , то проекция равна нулю.

      Теорема 1. Проекция вектора  на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ними: 

       . 

      Доказательство  теоремы вытекает из Рис. 1.

      Теорема 2. Проекция суммы двух векторов на ось  равна сумме проекций слагаемых  векторов на ту же ось.

      Доказательство. Пусть  . Обозначим проекцию точки через , точки - через , точки - через .

      

        

      Тогда  

       ; ; .  

      Но 

       . 

      Теорема 3. Если вектор умножить на число , то его проекция на ось умножится на то же число.

      Докажем для случая : 

       . 

      Если  , то 

       .