Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису

   Базис линейного пространства. Разложение вектора  по базису. 

   Множество векторов на прямой называется одномерным векторным пространством, множество  векторов на плоскости --двумерным векторным пространством, в пространстве -- трехмерным векторным пространством.         

   Легко проверить, что если    -- какое-то векторное пространство,   ,    -- число, то   и   .

   Линейной  комбинацией векторов   с коэффициентами   называется вектор   .

   

   Рис.1.Примеры  линейных комбинаций 

   Векторы d,f,g на рисунке 1 и   являются линейными комбинациями векторов a,b,c:   ,   ,   ,   .

   Будем говорить, что вектор b раскладывается по векторам   , если b является линейной комбинацией этих векторов.

   Если   , то любой вектор b, коллинеарный a, представим и причем единственным образом в виде   , где    -- число.

    Доказательство.     В соответствии с  определением  умножения вектора на число , если b имеет направление, противоположное a, и в противном случае.

   Таким образом, или.  
 

   Это можно сформулировать следующим  образом. Пусть    -- одномерное векторное пространство,    -- система векторов пространства   , состоящая из одного ненулевого вектора. Тогда любой вектор из   раскладывается по этой системе векторов единственным образом.         

   Пусть a и b два неколлинеарных вектора. Тогда любой вектор c, компланарный с векторами a и b, раскладывается по ним, причем единственным образом.

   Доказательство.    Заметим, что   и  . Если вектор cколлинеарен вектору a или b, то в соответствии с  предложением 1 c будет представим в виде линейной комбинации векторов a и b, где, соответственно, коэффициент при b или a равен нулю.

   Если  вектор c не коллинеарен ни одному из векторов a и b, то проведем следующие построения. Передвинем векторы a,b и c параллельно самим себе так, чтобы их начала оказались в одной точке   . По векторам a и b проведем прямые   и   соответственно. Через конец вектора c проведем прямые параллельно векторам a и b до пересечения с прямыми   и  . 

   

   Очевидно, что   . Вектор   коллинеарен вектору a и в силу  предложения1   , где    -- число. По тем же причинам  . Следовательно,   , то есть вектор раскладывается по векторам a и b.      

   Это можно сформулировать следующим образом. Пусть    -- двумерное векторное пространство,    -- система неколлинеарных векторов из   . Тогда любой вектор из   раскладывается по этой системе единственным образом.         

   Пусть a,b и c -- некомпланарные векторы. Тогда любой вектор d раскладывается по этим векторам.

   Доказательство.     Среди векторов a,b,c нет пары коллинеарных, так как в противном случае векторы a,b,c были бы компланарны.

   Если  вектор d является компланарным с парой векторов a,c, парой b,c или парой a,c, то в силу  предложения2 вектор d раскладывается по векторамa,b,c, где в соответствующей линейной комбинации один из коэффициентов окажется нулевым.

   В общем случае выполним следующие  построения. Передвинем векторы a,b,c,d параллельно самим себе так, чтобы их начала оказались в одной точке   . Через пару векторов a,b проведем плоскость   , через пару b,c -- плоскость   ,через пару a,c --   . Через конец вектора d проведем плоскости   параллельно плоскостям   соответственно. Эти шесть плоскостей ограничивают параллелепипед, диагональю которого служит вектор d (рис. 10.12). 

   

   Очевидно, что  ,   . Следовательно,  . В силу  предложения1   ,   ,   . Поэтому   , то есть d раскладывается по векторам a,b,c.      

   В соответствии с  предложением3 и  замечаниями2, 3 к  предложениям1 и 2 можно сделать вывод, что в любом векторном пространстве любой размерности есть система векторов, по которой раскладывается каждый вектор пространства, причем единственным образом.

   Базисом векторного пространства   будем называть упорядоченную систему векторов пространства, состоящую: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное; из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное; из трех некомпланарных векторов, если пространство трехмерное.         

   Очевидно, что в любом векторном пространстве можно выбрать бесконечно много  базисов, число векторов в каждом из них равно размерности пространства.

   Слова "упорядоченная система векторов" означают, что указан порядок перечисления векторов.

   Координатами (или компонентами) вектора a в базисе   называются коэффициенты разложения вектора a по векторам базиса.         

   Для указания, что вектор a имеет координаты   , мы будем использовать запись   .

   Очевидно, что в фиксированном базисе каждый вектор имеет свой, единственный, набор  координат. Если же взять другой базис, то координаты вектора в общем  случае изменятся.

   Сложение  векторов и умножение их на число  связаны с аналогичными действиями с их координатами. Доказательство соответствующих предложений для  простоты записи проведем для случая двумерного пространства. Без труда  можно повторить их для пространства любой размерности.

   При умножении вектора на число все  его координаты умножаются на это  число.

   Доказательство.     Пусть  , то есть   . Тогда   . Так как последняя запись дает разложение вектора   по векторам базиса   , то произведения   ,   являются координатами вектора   ,   .

   При сложении векторов складываются их соответствующие  координаты.

   Доказательство. Пусть   ,   .

   Тогда   ,   ,

   

   то  есть   .

 

Министерство  образования Республии  Беларусь

Учреждение  образования “Минский институт управления” 

Факультет экономики 
 
 
 
 
 

Контрольная работа по предмету высшая математика.

   «Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису» 
 
 
 
 

                                           Выполнил:

                                           Студент 100901с  группы

                                           Шпак  Дмитрий Александрович 
 
 
 

Минск, 2010