Адаптивные модели прогнозирования экономических процессов

       Реакция на ошибку прогноза и дисконтирование  уровней

временного ряда в моделях, базирующихся на схеме СС, определяется с помощью параметров сглаживания (адаптации), значения которых могут изменяться от нуля до единицы. Высокое значение этих параметров (свыше 0,5) означает придание большего веса последним уровням ряда, а низкое

(менее  0,5) — предшествующим наблюдениям.  Первый случай соответствует быстроизменяющимся динамичным процессам, второй — более стабильным.

       В авторегрессионной схеме оценкой  текущего уровня служит взвешенная сумма не всех, а нескольких предшествующих уровней, при этом весовые коэффициенты при наблюдениях не ранжированы. Информационная ценность наблюдений определяется не их близостью к моделируемому уровню, а теснотой связи между ними.

       Общая схема построения адаптивных моделей  может быть представлена следующим образом. По нескольким первым уровням ряда оцениваются значения параметров модели. По имеющейся модели строится прогноз на один шаг вперед, причем его отклонение от фактических уровней ряда расценивается как ошибка прогнозирования, которая учитывается в соответствии с принятой схемой корректировки модели. Далее по модели со скорректированными параметрами рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени и т.д. Таким образом, модель постоянно «впитывает» новую информацию и к концу периода обучения отражает тенденцию развития процесса, существующую в данный момент.

       В практике статистического прогнозирования  наиболее часто используются две базовые СС-модели — Брауна и Хольта, первая из них является частным случаем второй. Эти модели представляют процесс развития как линейную тенденцию с постоянно изменяющимися параметрами. Рассмотрим оду из этих моделей.

Пример:

     Требуется:

     1) сгладить Y(t) с помощью простой скользящей средней;

     2) определить наличие тренда Y_p(t);

     3) построить линейную модель Y_p(t) = а₀ + a₁t, параметры которой оценить МНК;

     4) построить адаптивную модель  Брауна Y_p(t) = а₀ + a₁k с параметром сглаживания а = 0,4 и а = 0,7; выбрать лучшее значение а;

     5) оценить адекватность построенных  моделей на основе исследования:

     - случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

     - независимости уровней ряда остатков  по d-критерию (в качестве критических используйте уровни d₁ = 1,08 и d₂ =1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;

     - нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7-3,7;

     - для оценки точности модели  используйте среднее квадратическое  отклонение и среднюю по модулю  ошибку;

     6) Построить точечный и интервальный  прогнозы на два шага вперед (для вероятности Р = 70% используйте коэффициент К_p = 1,05) по двум построенным моделям.

     Отобразить  на графиках фактические данные, результаты расчетов (1, 3, 4, 6) и прогнозирования  по всем моделям.

     Значения  Y(t): 43; 47; 50; 48; 54; 57; 61; 59; 65.

     Решение.1. Сглаживание ряда Y(t) произведем по простой скользящей средней

                                      

     Результаты  в таблице 1. 

 

     Построим  графики. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2. Наличие тренда

     Разобьем  ряд на две части 

 

     Проверяется гипотеза о равенстве дисперсий

     Значение  критерия Фишера 

      F = 16,3 / 11,667 = 1,40 . 

     Для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы k₁ = 5 -1 = 4, k₂ = 4 -1 = 3

табличное значение критерия F_a = 9,12. Так как расчетное значение критерия меньше табличного 1,40 < 9,12, то дисперсии равны.    

     Проверка  наличия тренда. Вычислим

      3,783.   Проверяется гипотеза об отсутствии тренда.

     Значение  критерия Стьюдента

      4,768.

     Для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы n₁ +  n₂  - 2 = 5 + 4 - 2 = 7

табличное значение критерия t_a = 2,36. Так как расчетное значение критерия больше табличного 4,768 > 2,36, то гипотезе об отсутствии тренда отвергается. Следовательно, в рассматриваемом ряде есть тренд. 

     Скользящее  среднее показывает, что ряд Y(t) имеет  тенденцию к росту.

     2. Линейную трендовую модель ищем  в виде  , параметры модели а₀, а₁ найдем, решив систему уравнений

      n = 9. 

     Составим  расчетную таблицу 2.

 

Получаем  систему

Первое уравнение  раздели на 9, второе – на 45 и вычтем из второго первое, получим

      1,33 a₁ = 3,44;  a₁ = 2,59;  a₀ = 53,78 - 5a₁ =  23,89- 5∙2,59 = 40,83.

     Получили  трендовую модель: .

     3. Оценим качество модели. Для этого найдем расчетные значения Y_p(t), подставляя t =1, …, 9 в линейную модель, найдем отклонения расчетных значений от исходных E(t) = Y(t) - Y_p(t).

Для исследования модели на адекватность составим таблицу 3.