Электронная следящая система воспроизведения угла (ЭСС)

Амплитуда ошибки может  быть найдена с помощью модуля передаточной функции по ошибке:

, где  (6)

- частотная передаточная функция  разомкнутой системы.

Так как в подавляющем  большинстве случаев амплитуда  ошибки значительно меньше амплитуды  входного сигнала, т. е. , то справедливо отношение . Поэтому вместо (6) можно пользоваться приближенным выражением:

.  (7)

Для того чтобы входное  воздействие (5) воспроизводилось с ошибкой, не превышающей , ЛАЧХ системы должна проходить не ниже контрольной точки с координатами:

. (8)

Так как заданы ограничения  на задающее воздействие, то, используя (9), найдем амплитуду и частоту эквивалентного гармонического сигнала.

  (9)

По полученным величинам  построим контрольную точку , в соответствии с (8).

.  (10)

Будем рассматривать  режим гармонического входного воздействия, в котором амплитуда скорости по-прежнему равна максимальному значению, а амплитуда по ускорению меньше максимального. Тогда контрольная частота будет пропорционально уменьшаться, а амплитуда возрастать обратно пропорционально амплитуде ускорения. При этом контрольная точка будет перемещаться влево по прямой, имеющей наклон -20 дб/дек. Если теперь рассматривать режим гармонического входного воздействия с амплитудой ускорения, равной максимальному значению , и амплитудой скорости, меньшей максимального значения , то контрольная точка будет двигаться вправо по прямой, имеющей наклон -40 дб/дек. Полученные асимптоты образуют запретную область, представленную на рис. 3. Для достижения требуемой точности системы желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы должна проходить вне запретной области, т.е. не ниже асимптот.

Рисунок 3. Запретная зона для желаемой ЛАЧХ

 

На рисунке  - добротность по скорости следящей системы:

, где  (11)

- коэффициент передачи разомкнутой  системы с астатизмом первого  порядка.

Определим амплитуду  и частоту эквивалентного гармонического воздействия исходя из данных задания, согласно (9):

Определим необходимый  коэффициент передачи разомкнутой  системы, исходя из данных задания, используя (11) и (6):

Для обеспечения запаса по точности, потребуем, чтобы желаемая ЛАЧХ проходила на 6 дб выше запретной области, что соответствует увеличению коэффициента передачи разомкнутой системы в 2 раза. Тогда:

. (12)

Тогда используя (4) и (12) найдем , обеспечивающий требуемую точность:

 (13)

Полученная система имеет достаточные запасы устойчивости (запас по фазе , по амплитуде ). Время регулирования , перерегулирование отсутствует (рисунок 5). ЛАЧХ СС с разомкнутым внешним контуром приведена на рисунке 4. Ошибка при воспроизведении эквивалентного гармонического воздействия не превышает допустимой (рисунок 6). Таким образом, непрерывная система удовлетворяет всем требованиям, предъявленным в задании.

 

Рисунок 4. ЛАЧХ разомкнутой системы с непрерывными регуляторами

 

Рисунок 5. Переходная характеристика замкнутой системы  с непрерывными регуляторами

 

 

Рисунок 6.Ошибка воспроизведения эквивалентного гармонического воздействия

 

3. Дискретизация внешнего контура положения

 

Основным вопросом при  дискретизации непрерывного регулятора является выбор периода дискретизации T. Необходимо разрешить противоречие между следующими требованиями: 1) слишком малое значение T усложняет техническую реализацию; 2) слишком большое T приводит к недопустимой потере информации, в результате чего замкнутая система может оказаться неустойчивой, хотя в непрерывной системе существовала область устойчивости.

Период дискретизации T выбирается путем приближений. Для выбора начального значения T можно воспользоваться теоремой Котельникова – Шеннона, которая утверждает, что частота дискретизации должна быть более чем в 2 раза выше максимальной частоты в спектре сигнала. Спектр сигналов, циркулирующих в контуре регулирования, определяется максимальными по модулю собственными значениями, которые были назначены при синтезе. Примем, что максимальная частота в спектре сигналов в 10 раз выше максимального модуля собственного значения. Согласно (4):

Приближенное значение периода дискретизации находится  так:

   

. (14)

Полученная модель системы  с дискретным внешним контуром изображена на рисунке 7. Так как регулятор контура положения – пропорциональное звено, то дискретизация при правильно выбранном периоде T не окажет какого либо существенного влияния на СС.

Реализация пропорционального  регулятора в цифровом виде может показаться нерациональной. Однако, в силу специфики данной задачи датчики положения – цифровые по самому принципу их действия, поэтому целесообразно реализовать сумматор и усилитель для внешнего контура положения на одной микросхеме. Такой подход позволяет использовать всего один ЦАП, что снижает погрешности и экономически эффективно; также можно быстро менять настройку П-регулятора и, при необходимости, изменить закон регулирования.

Рисунок 7. Структурная схема с дискретным внешним контуром

 

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СС

1. Исследование динамических свойств

 

Переходная характеристика замкнутой системы по управляющему воздействию при отсутствии возмущений представлена на рисунке 5. На рисунке 8 представлено эквивалентное гармоническое воздействие и сигнал на выходе СС. По рисунку 6 видно, что ошибка не превышает допустимой.

Рисунок 8. Эквивалентное  гармоническое воздействие и  сигнал на выходе системы

 

Проверим как ведет  себя СС при наличии возмущений. На рисунке 9 представлена реакция системы на скачкообразное изменение нагрузки с нулевой до номинальной для данного двигателя ( ). Видно, что по каналу возмущения система – статическая. Что недопустимо для данной СС.

 

Рисунок 9. Реакция  системы на скачкообразное изменение момента нагрузки

Для уменьшения влияния возмущающего воздействия вместо П-регулятора положения применим ПИ-регулятор. Подбор параметров ПИ-регулятора будем проводить по ЛАЧХ системы с разомкнутым внешним контуром при помощи программы Matlab/SISO Design Tool. На рисунке 10 приведены ЛАЧХ системы, ПИ-регулятора и системы с регулятором. Передаточная функция ПИ-регулятора положения имеет следующий вид:

.   (15)

Рисунок 10. ЛАЧХ системы, ПИ-регулятора и системы с регулятором.

 

Система с ПИ-регулятором положения имеет запасы устойчивости, практически такие же, как и с П-регулятором (запас по фазе , по амплитуде ). Однако динамика системы ухудшилась: время регулирования , перерегулирование (рисунок 11).

На рисунке 12 представлена реакция системы на возмущающее  воздействие (скачкообразное изменение  момента сопротивления от нулевого до номинального). Видно, что ПИ-регулятор положения позволяет устранить статическую ошибку по возмущению.

На рисунке 13 представлено эквивалентное гармоническое воздействие  и сигнал на выходе СС. По рисунку 14 видно, что в системе ПИ-регулятором ошибка также, как и при использовании П-регулятора, не превышает максимально допустимую. На рисунке 15 приведена реакция системы на линейно нарастающее задающее воздействие, на рисунке 16 - ошибка системы при воспроизведении такого воздействия.

По рисунку 17 видно, что хотя система с ПИ-регулятором и астатическая, но амплитуда ошибки по возмущающему воздействию недопустимо велика. Т. е. СС не пригодна для отработки «малых» перемещений. Чтобы устранить этот недостаток требуется введение компенсации возмущающего воздействия.

 

Рисунок 11. Переходная характеристика системы с ПИ-регулятором  положения

 

Рисунок 12. Реакция  системы с ПИ-регулятором положения  на возмущающее воздействие

Рисунок 13. Эквивалентное  гармоническое воздействие и  сигнал на выходе системы с ПИ-регулятором

 

Рисунок 14. Ошибка воспроизведения гармонического задающего воздействия

 

Рисунок 15. Линейно нарастающее задающее воздействие и сигнал на выходе системы

Рисунок 16. Ошибка при воспроизведении линейно нарастающего задающего воздействия

 

Рисунок 17. Реакция  системы на скачкообразное задающее воздействие (изменение от нуля до

) при одновременном скачкообразном возмущающем воздействии, соответствующем номинальному моменту ИД

2. Исследование чувствительности СС

 

Как показало моделирование, изменение постоянных времени , , а также на и даже не оказало заметного влияния на поведение системы. Это можно объяснить стабилизирующим влиянием обратных связей. Так как система трехконтурная, то параметрические возмущения практически не влияют на динамику системы. Следовательно, можно сделать вывод о нечувствительности системы к параметрическим возмущениям.

 

 

3. Исследование влияния нелинейностей

 

В реальной системе существуют ограничения на максимальную скорость двигателя, крутящий момент, и, следовательно, на ток якоря. Для ограничения тока в реальных системах часто используется блок ограничения (БО), который устанавливается в контуре тока на входе тиристорного преобразователя (ТП). БО ограничивает задающее напряжение максимальным уровнем, соответствующим номинальному току якоря. Т. е. БО представляет собой нелинейность типа «насыщение».

Для использованного двигателя номинальный ток . Зная коэффициент усиления ТП по напряжению и сопротивление цепи якоря нетрудно посчитать, что номинальному току якоря соответствует задающее напряжение .

Помимо ограничения  на ток якоря существенным образом  на точность системы влияет момент силы трения покоя. Влияние сил трения проявляется в том, что крутящий момент, создаваемый двигателем должен быть больше момента сил трения . Любой будет уравновешиваться силами трения покоя и не окажет влияния на исполнительный вал. Учесть влияние сил трения позволяет НЭ типа «зона нечувствительности», данный НЭ следует включить сразу после контура тока.

Согласно паспортным данным двигателя момент сил трения покоя . Зная коэффициент момента , нетрудно получить величину зоны нечувствительности. Значение тока, соответствующее моменту сил трения покоя .

Дополнительными источниками  нелинейностей являются тиристорный  преобразователь и редуктор. Однако для упрощения будем рассматривать  их в виде линейных звеньев.

Моделирование системы с нелинейностями показало, что СС не способна воспроизводить эквивалентное задающее воздействие с расчетной амплитудой порядка нескольких угловых секунд. Сигнал на выходе системы – нулевой. Механическая часть системы не позволяет получить такую высокую точность позиционирования. Однако, как показывают рисунки 18 и 19, в отсутствии возмущений система может воспроизводить гармоническое задающее воздействие с амплитудой в 30 угловых градусов и частотой 1 рад/с.  Ошибка при этом не превысит 1.5 угловых градусов, что соответствует ошибке в 1.5 угл. сек. при амплитуде задающего воздействия 30 угл. сек. Т. е. система способна с достаточной точностью отрабатывать перемещения «в большом».

На рисунке 20 приведено  задающее воздействие с амплитудой 30 угл. минут и сигнал на выходе системы. На рисунке 21 ошибка при воспроизведении такого сигнала. На рисунке 22 изображен сигнал на выходе системы при воспроизведении гармонического задающего воздействия (амплитуда 30 градусов) и при скачкообразном изменении момента нагрузки, а на рисунке 23 – ошибка. На рисунках 24 и 25 – реакция системы на скачкообразное задающее воздействие при одновременном скачкообразном изменении момента нагрузки.

 

Рисунок 18. Задающее воздействие и сигнал на выходе нелинейной системы (амплитуда 30 градусов)

 

Рисунок 19. Ошибка воспроизведения гармонического задающего воздействия в нелинейной системе

Рисунок 20. Задающее воздействие и сигнал на выходе нелинейной системы (амплитуда 30 минут)

 

 

Рисунок 21. Ошибка воспроизведения гармонического задающего воздействия в нелинейной системе

 

Рисунок 22. Задающее воздействие и сигнал на выходе нелинейной системы (амплитуда 30 градусов) при одновременном скачкообразном изменении момента нагрузки

 

Рисунок 23. Ошибка воспроизведения гармонического задающего  воздействия при одновременном  скачкообразном изменении момента  нагрузки