Контрольная работа по «Численные методы в инженерных расчетах»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (КАЗАНСКИЙ ФИЛИАЛ)

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Численные методы в инженерных расчетах»

Вариант 10

 

 

 

 

Выполнил:

студент 3 курса

шифр 11430

Иванашкин А.Ю.

 

Проверил:

 

 

 

Казань, 2012 
СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 
Задача 10.

Найти абсолютную D и относительную d погрешности числа а = 43,813, имеющего только верные цифры. Решить задачу аналитически и с помощью системы MathCad 6.0.

Решение. Так как все пять цифр числа а = 43,813 верны, то Dа = 0,001,

.

Решение в MathCad:

 

Задача 20.

Найти общее решение  неоднородного разностного уравнения  второго порядка:

.

Решение. В качестве фундаментальной системы функций возьмем и(n) = рⁿ, тогда характеристическое уравнение примет следующий вид:

.

Решив уравнение, найдем корни: , . Здесь

;

.

Тогда, общими решениями однородного уравнения будут:

.

Частное решение неоднородного  уравнения будем искать в том же виде, что и правая часть уравнения, т.е.

.

Для нахождения коэффициентов a и b подставим в уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях n в левой и правой частях полученного равенства. Имеем:

.

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые при различных степенях n, получим

.

Отсюда  , . Следовательно,

.

Итак, общее решение  указанного неоднородного разностного  уравнения будет иметь вид (сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения):

.

Решим характеристическое уравнение  в MathCad:

Таким образом, решение, полученное в MathCad имеет вид:

,

что полностью совпадает  с решением, полученным аналитически

 

Задача 30.

Вычислить по формуле  Симпсона определенный интеграл функции f(x) с шагом и с шагом . Расчеты производить с точностью до 10^-3.

, а = 2, b = 12.

Оценить абсолютную погрешность  по правилу Рунге. Ответ дать с учетом поправки Рунге.

С помощью системы MathCad 6.0 + определить число шагов, необходимое для достижения точности вычислений 10^-5.

Решение. 1) Шаг вычислений

.

Выпишем узлы и значения функции в узлах:

хk = x0 + kh, (k = 0, …, 10)	yk = f(xk) (k = 0, …, 10)
x0 = 2 + 0∙0,5 = 2;	;
x1 = 3;	у1 » 4,899;
x2 = 4;	у2 » 8,062;
x3 = 5;	у3 » 11,489;
x4 = 6;	у4 » 15,199;
x5 = 7;	у5 » 19,183;
x6 = 8;	у6 » 23,431;
x7 = 9;	у7 » 27,928;
x8 = 10;	у8 » 32,665;
x9 = 11;	у9 » 37,630;
x10 = 12.	у10 » 42,814.

 

Квадратурная формула Симпсона имеет вид:

.

= у₀ + у₁ + у₂+ у₃ + у₄ + у₅ + у₆ + у₇ + у₈ + у₉ = 1,732 + 4,899 + 8,062 + 11,489 + 15,199 + 19,183 + 23,431 + 27,928 + 32,665 + 37,630 = 182,218.

= у₁ + у₂+ у₃ + у₄ + у₅ + у₆ + у₇ + у₈ + у₉ + у₁₀ = 4,899 + 8,062 + 11,489 + 15,199 + 19,183 + 23,431 + 27,928 + 32,665 + 37,630 + 42,814 = 223,300.

Найдем  . Составим расчетную таблицу.

k
1		3,373
2	3,5	6,452
3	4,5	9,740
4	5,5	13,309
5	6,5	17,157
6	7,5	21,275
7	8,5	25,649
8	9,5	30,268
9	10,5	35,119
10	11,5	40,195
Сумма		202,537

 

Итак,

.

 

2) Шаг вычислений 

.

k	хk = x0 + kh	f(xk)
0	2	1,732	-	-
1	2,5	3,373	2,25	2,589
2	3	4,899	2,75	4,136
3	3,5	6,452	3,25	5,669
4	4	8,062	3,75	7,249
5	4,5	9,740	4,25	8,893
6	5	11,489	4,75	10,606
7	5,5	13,309	5,25	12,390
8	6	15,199	5,75	14,245
9	6,5	17,157	6,25	16,170
10	7	19,183	6,75	18,162
11	7,5	21,275	7,25	20,221
12	8	23,431	7,75	22,345
13	8,5	25,649	8,25	24,532
14	9	27,928	8,75	26,781
15	9,5	30,268	9,25	29,091
16	10	32,665	9,75	31,459
17	10,5	35,119	10,25	33,885
18	11	37,630	10,75	36,368
19	11,5	40,195	11,25	38,906
20	12	42,814	11,75	41,498
		384,755
		425,837
				405,194

 

Отсюда:

.

На практике применяют  правило Рунге. Для этого выбирают число n кратное 2 и вычисляют приближенное значение интеграла по формуле Симпсона с шагом h = (b - a)/n (обозначаем это приближенное значение In). Затем вычисляют приближенное значение интеграла по формуле Симпсона с шагом h/2 = (b - a)/2n (обозначаем его I2n). Абсолютная погрешность по правилу Рунге:

 

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного просчета интеграла с шагами h и kh.

.

За приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле Симпсона с поправкой Рунге, принимают

.

Точное значение данного определенного интеграла, найденного с помощью системы MathCad, равно:

С помощью системы MathCad 6.0 + определим число шагов, необходимое для достижения точности вычислений 10^-5.

.

Из этого соотношения  найдем n.

Вычислим 4-ю производную  заданной функции:

Упростим получившееся выражение (Символика - Упростить)

Построим график получившейся функции:

Из графика видно, что  функция достигает своего максимума на правом конце интервала интегрирования, т.е. в точке х = 12.

 

Задача 40.

Дано дифференциальное уравнение второго порядка вида с начальными условиями у(х₀) = у₀ и . Для данного дифференциального уравнения найти решение у = у(х), удовлетворяющее заданным начальным условиям, в виде:

а) пяти отличных от нуля членов разложения в степенной ряд;

б) по методу Рунге-Кутта  составить таблицу приближенных значений решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующей заданному уравнению на отрезке [0; 0,5] с шагом h = 0,1.

Все вычисления производить  с округлением до пятого десятичного  знака. Результаты, полученные в п. а) и п. б), сравнить.

, у(0) = 2, .

Решение. Решим задачу аналитически. Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Отсюда k₁ = -4, k₂ = -2. Решением уравнения является функция

.

Найдем неизвестные С₁, С₂, используя начальные условия.

.

Решая систему

Находим , . Таким образом,

.

 

а) Разложение решения в ряд для уравнения с начальными условиями у(0) = 2, производится по следующей схеме. Находим

.

Дифференцируем заданное уравнение: .

Находим:

Дифференцируем еще  раз: .

Находим: .

Первые пять членов ряда Маклорена для искомой функции  будут иметь вид:

.

Решение в Matcad:

 

б) Сведем задачу , у(0) = 2, к задаче Коши для системы двух уравнений 1-го порядка.

Будем использовать вычислительный процесс метода Рунге-Кутта. Приближенные значения , вычисляются последовательно по формулам:

   ,           

где

                                   

, .

Шаг сетки  ; .

Проведем вычисления в Excel:

Здесь в ячейки внесены  следующие формулы:

В2	=0,1*A2
С2	=0,1*L2
D2	=0,1*(L2+G2/2)
Е2	=0,1*(L2+H2/2)
F2	=0,1*(L2+I2)
G2	=0,1*(-6*L2-8*K2)
H2	=0,1*(-6*(L2+G2/2)-8*(K2+C2/2))
I2	=0,1*(-6*(L2+H2/2)-8*(K2+D2/2))
J2	=0,1*(-6*(L2+I2)-8*(K2+E2))
K2	для i = 0  2
	для остальных значений i =K2+(C2+2*D2+2*E2+F2)/6
L2	для i = 0  1
	для остальных значений i  =L2+(G2+2*H2+2*I2+J2)/6

 

Сравним решения, полученные тремя способами. Имеем

хi	Аналитическое решение,	Разложение в ряд Тейлора	Метод Рунге-Кутта
0	2	2	2
0,1	2,008488	2,0083	2,0083
0,2	1,893118	1,88747	1,892869
0,3	1,716667	1,6763	1,716421
0,4	1,517239	1,3568	1,517024
0,5	1,317119	0,85417	1,316944