Расчет корректирующего устройства

5. ЛАЧХ и ЛФЧХ  соединения 

 Логарифмические частотные характеристики получают путем логарифмирования выражения  комплексной частотной характеристики, представленной в показательной форме. На практике часто используют десятичные логарифмы.

 При построении графиков по оси абсцисс  откладывают , по оси ординат откладывают для АЧХ и для ФЧХ.

 Логарифмические АЧХ и ФЧХ определяются как  суммы АЧХ и  ФЧX  элементарных звеньев соответственно.

 Методика  построения ЛАЧХ: используется непосредственно передаточная функция.

 По  оси абсцисс задается Ось ординат проводится произвольно так, чтобы основная картина располагалась в окрестности этой оси, т.к. начало координат в логарифмическом масштабе отсутствует. Задаются шкалы .

     1. Определить частоты сопряжения для каждого звена

     2. Откладываются их величины по оси абсцисс в порядке убывания, через точки сопряжения проводятся вертикали.

     3. Построение ЛАЧХ начинается при наличии идеального дифференцирующего или интегрирующего звена с этих звеньев. При отсутствии их с усилительного звена.

     4. Через точку с координатами проводится асимптота при отсутствии дифференцирующего или интегрирующего звеньев параллельно оси абсцисс, при их наличии проводится прямая +20дб/дек для дифференцирующего или -20дб/дек для интегрирующего до пересечения с первой (наименьшей частотой сопряжения).

     5. Из точек пересечения данной системы с вертикалью проводим асимптоту под наклоном  равным сумме предыдущего наклона и наклона того звена, которому соответствует данная частота сопряжения до пересечения со следующей частотой сопряжения.

     При построении логарифмических ФЧХ наклон соответствует наклону

 на графике кривой ЛАЧХ. 
 
 
 

 Построение  характеристик:

     Передаточная  функция системы:

     где

     Найдем  частоты сопряжения:

      ;

     

     До  частоты  работает дифференцирующее звено (на ЛАЧХ прямая под наклоном

+20дб/дек; на  ЛФЧХ сдвиг по фазе на  ).

     С частоты  включается форсирующее звено (на ЛАЧХ наклон меняется с +20дб/дек на +40дб/дек.

     При достижении частоты  включается колебательное звено, и наклон кривой ЛАЧХ изменится с +20дб/дек на отрезок параллельный оси абсцисс, который заканчивается при частоте  .

     Далее работает еще оно апериодическое звено, которое получено при встречно-параллельном соединении звеньев 3 и 5.Наклон ЛАЧХ  -20дб/дек.

       
 

      Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ приведены в Приложении 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Частота среза

     Частота среза  определяется из ЛАЧХ соединения, как частота, в которой график характеристики пересекает ось логарифмических частот. Эта характеристика САУ определяет рабочий диапазон частот. Поскольку график ЛАЧХ не пересекает ось логарифмических частот, то частота среза отсутствует. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. Векторно–матричная модель соединения 

     Эта  форма  модели  может  быть  двух  типов  в  зависимости  от  области, в  которой  описывается  система. Если  система  описывается  в  области  действительного  переменного  t, то  модель  пространств состояний представляется  в  виде  двух  векторно–матричных  уравнений:

     

               Переход  от  классической  формы  модели  к  модели  комплексного  переменного, т.е. передаточной  функции  или  к  частотной  модели    является  достаточно  простым. В  результате  перехода  должны  быть  получены  матрицы    выраженные  через коэффициенты  знаменателя  и  числителя  передаточной  функции 

                Т.к. движение  системы  описывается   передаточной  функцией  вида:

     

     

           Разделим  числитель  и  знаменатель  на  ,получим:

                   

     Чтобы перейти от передаточной функции  к уравнениям в форме пространства состояний, необходимо определить матрицы А, В, С, D выражая их через коэффициенты полиномов передаточной функции . С этой целью попытаемся построить математическую модель системы, удовлетворяющую исходной передаточной  
 
 

функции и позволяющую ввести новые переменные состояния и определить элементы исходных матриц. Воспользуемся следующим приёмом – разделим числитель и знаменатель на :

  

     Так как необходимо перейти к дифференциальному  уравнению, то, принимая во внимание, что  при нулевых начальных условиях форма преобразования Лапласа и  операторная форма формально  совпадают,  можно записать для  выходного сигнала, являющегося функцией времени, соотношение:

     

     Введем  новую переменную

           , тогда

       

     Из  последнего выражения следует, что  если бы была известна введенная функция , проинтегрировав которую 3 раза с соответствующим множителем и просуммировав полученные значения в соответствии с приведенной формулой, то значение выходного сигнала могло бы быть найденным. Следовательно, необходимо по известному входному сигналу и соотношению (*), связывающему сигналы и , найти вспомогательную функцию

        

     Решим это уравнение относительно старшей производной:

     

      .

     Располагая  полученным выражением, построим структурную  схему модели, которая бы позволила  сформировать старшую производную.

     Разделим  числитель  и  знаменатель  на  ,получим:

       
 
 
 

     Введем  обозначение:

      .

        

     Определим величину z(t):

       

        

 
 

     

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Матрицы состояния, управления, измерения и переходов  (A,B,C,D) и уравнения состояния и выхода

     Пользуясь построенной моделью введем неравенства состояний, а следовательно запишем уравнение движения модели системы в форме пространства состояний. 

     Сравнивая  полученное  уравнение  с  уравнением  состояния  можно  записать  матрицы  и  

                

        

Из  последнего  выражения  получаем  значение  матриц  и . 

        
 

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

      В ходе выполнения курсовой работы были изучены методики построения комплексных, амплитудных  и фазовых частотных характеристик  элементарных динамических звеньев, а также методики построения КЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ соединения. Были изучены такие модели описания систем автоматического управления, как классическая модель, модель в форме преобразования Лапласа и векторно-матричная модель. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

     1. Элементы систем автоматического  управления и контроль/ В. Г.  Рубанов, Н. И. Подлесный –  К. :Выща шк., 1991. – 407 с.

     2. Теория систем автоматического  управления / В. А. Бесекерский,  Е. П. Попов – Изд. 4-е, перераб. и доп.- СПб, изд-во «Профессия», 2003. – 752 с. – (Серия: Специалист).

      3. Рубанов В. Г. Линейные системы автоматического управления: Учеб. пособие. – Белгород: Изд. БелгТАСМ, 1997. – 106с 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

      КЧХ элементарных звеньев 

 

     Колебательное звено                       Форсирующее звено 1 порядка 

 
 

Интегрирующее звено Дифференцирующее звено 
 

        

      Пропорциональное  звено 
 

АЧХ элементарных звеньев 

 

     Колебательное звено                               Форсирующее звено 1 порядка 

          
 

     Интегрирующее звено Дифференцирующее звено 
 

        

      Пропорциональное  звено 
 

ФЧХ элементарных звеньев 

 

      Колебательное звено Форсирующее звено 1 порядка 

     
 

      Интегрирующее звено                         Дифференцирующее звено 
 

        

      Пропорциональное  звено 
 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

КЧХ соединения 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЛАЧХ  соединения

 
 

ЛФЧХ  соединения (построена асимптотически)