Модели типовых звеньев и их соединений

       Цель  работы: изучение на модели типовых звеньев и их соединений.

       Вариант задания – 2. Исходные данные представлены в таблице 1.

       Таблица 1. Исходные данные

 

       1 Теоретическая часть

       1.1 Дифференцирующее звено.

             

       Рисунок 1.1 – Схема модели дифференцирующего звена.

       Функция передачи модели этого звена определяется обычным образом

        ; (1.1)

        ;       (1.2)

тогда

        .       (1.3)

       Переходная  характеристика

        .      (1.4)

       При дифференцировании единичного ступенчатого воздействия образуется дельта-импульс  площадью Т единиц.

       Частотные характеристики

       Модуль  и фаза комплексного коэффициента передачи равны соответственно

        ;         (1.5)

 

        .           (1.6)

         ЛАЧХ определяем из выражения

        .        (1.7)

       Наклон  этой прямой составляет +20 дБ/дек и она пересекает ось частот в точке, где Тw=1, т.е.

        .        (1.8)

       1.2 Звено с опережением по фазе

        

       Рисунок 2.1 – Модель звена с опережением по фазе.

       Определим значение преобразованных по Лапласу  сопротивлений обратной связи и  входной цепи, затем найдем их отношение, т.е. функцию передачи звена

        ; (2.1)

        ; (2.2)

        , (2.3)

где 

        ; (2.4)

        ;  (2.5) 

        .  (2.6)

       Переходная  характеристика

        .      (2.7)

 

       Чтобы представить  полученное выражение в виде простых  дробей, находим корни знаменателя. Один из корней равен нулю, второй, назовем  его b, равен . Обратное преобразование для выражений и нам известно; таким образом, выражение для переходной характеристики имеет вид

         (2.8)

где

        ;  (2.9)

        ;  (2.10)

       Окончательно  определяем

        . (2.11)

       Для выбранных значений k, a и Т, придавая различные значения текущему времени t, строим h(t) по точкам.

       Частотные характеристики звена быстрого реагирования (звено с опережением по фазе) можно получить уже известным способом После замены p на в формуле, отображающей функцию передачи, мы получим комплексный коэффициент передачи звена; представляя в алгебраической, а затем в показательной форме, мы определим модуль и фазу комплексного коэффициента передачи, и придавая частоте различные значения, сможем построить требуемые характеристики по точкам Однако построение характеристик этих звеньев расчетным путем нецелесообразно. Проще определить ЛАЧХ и ЛФЧХ звена, зная ЛАЧХ и ЛФЧХ элементарных звеньев, входящих в состав этого звена. Функцию передачи звена мысленно представим себе как произведение функций передач трех типовых звеньев

             (2.12)

       Суммируя  ЛАЧХ безинерционного звена, форсирующего и инерционного звеньев, получим  ЛАЧХ звена с опережением по фазе. То же проделываем и для получения  ЛФЧХ.

       Построение  ЛАЧХ и ЛФЧХ показано на рисунке. На оси частот находим  и , на рисунке взяты значения для Т=0,6 сек. и a=0,19. Из точки 1 проводим отрезок 1-2 с наклоном +20дБ/дек, получая характеристику форсирующего звена 0-1-2. Ломаная линия 0-3-4, где 3-4 имеет наклон –20 дБ/дек, дает ЛАЧХ инерционного звена. Суммарная характеристика без учета коэффициента усиления К имеет вид ломаной линии 0-1-5-6.

       Если  K=a, то характеристика должна быть опущена на 20lgK=14,4 дБ. Проще, как это показано на рисунке, на такое же количество децибел поднять ось частот, при этом асимптота 5-6 совпадает с осью частот.

       Если  , то ЛАЧХ должна быть приподнята под осью частот на величину 20lgK, можно на такое же количество децибел опустить ось частот из первоначального положения. Фазовую характеристику звена строим, аппроксимируя фазовые характеристики форсирующего и инерционного звеньев ломаными линиями так, как об этом говорилось при построении фазовой характеристики инерционного звена. На частоте , форсирующее звено имеет сдвиг по фазе +45°. Через эту точку 7 и точку 8, отнесенную влево на одну декаду, проводим прямую 7-8 до пересечения с линией 9-10, соответствующей сдвигу +90°. Ломаная 11-8-9-10 есть ЛФЧХ форсирующего звена. Фазовая характеристика инерционного звена 12-13-14-15 приподнята на 90°, чтобы иметь возможность проще произвести вычитание. Результирующая ЛФЧХ звена с опережением по фазе имеет вид ломаной линии 11-8-17-16-14-15.

       Данные  для построения годографа взяты  из ЛАЧХ и ЛФЧХ звена. Длина вектора W(jw) определяется по ЛАЧХ после перевода децибел в отношение, а поворот W(jw) относительно действительной оси для взятого значения частоты берется из ЛФЧХ.

 

        1.3 Инерционное звено

       

       Рисунок 3.1 – Модель инерционного звена

       Функцию передачи модели звена найдем как отношение преобразованных по Лапласу значений комплексных сопротивлений обратной связи и входной цепи

       Z_ос(p)=  (3.1)

       

Z_вх(p)=R1 (3.2)

тогда

       W(p)=   (3.3)

       

Переходная  характеристика

       h(t)=L^-1{ }=L^-1{ }=C₁+C₂e^{- t} (3.4)

где

       C₁= _p=0=K; (3.5)

       C₂= _p=0=-K. (3.6)

       h(t)=C₁+C₂ =K-K =K(1- )  (3.6)

       Придавая  различные значения текущему времени t, строим h(t) по точкам. В данном случае h(t) является экспонентой.

       

Частотные характеристики

       Для построения частотных характеристик  определяем значение комплексного коэффициента передачи звена, производя замену S на j в выражении для W(S). Затем, в соответствии с общими правилами обращения с комплексными числами, находим модуль и фазу величины W(j ).

       A( )=  (3.7)

         (3.8)

       ЛАЧХ  строим по выражению:

       20lgA( )=A_дБ=20lgK-20lg ;  (3.9)

       При вычерчивании амплитудных характеристик  принято изображать не точные характеристики, а асимптотические, с ошибкою  на частоте сопряжения _с= в 3 дБ. Эту ошибку, при необходимости, можно учесть. Для построения асимптотической характеристики определяют её ход (поведение) в области весьма малых ( ) и весьма больших ( ) значений частоты. Если 1, то в выражении для А_дБ значением ( ²), по сравнению с единицей, можно пренебречь и в этой области частот А_дБ=-20lgK.

       Пересечение прямых, отображающих ход этой характеристики в области низких и высоких  частот, определит частоту сопряжения. Если К=1, то низкочастотная асимптота  совпадает с осью частот и прямая 20lg пересекает эту ось в точке, для которой А_дБ=0, т.е. на частоте, где ; так как там находится частота сопряжения _с= . Наклон прямой после частоты сопряжения определяется приращением усиления при изменении частоты на одну декаду и составляет –20 дБ/дек. Точные характеристики показываются пунктиром.

       При изображении фазовой характеристики используем только главное значение этой периодической функции. Фазовую  характеристику можно аппроксимировать тремя прямыми линиями. Для построения приближенной фазовой характеристики от точки, соответствующей частоте  сопряжения , где сдвиг по фазе составляет –45°, откладываем влево и вправо отрезки, равные декаде, точку справа сносим вниз до пересечения с линией сдвига по фазе в 90° и проводим три прямых. Максимальная ошибка в определении фазового угла оказывается при этом не более 6°, но все построения существенно упрощаются. Точная характеристика показывается на рисунке пунктиром.

       Траектория  вектора амплитудно-фазовой характеристики, годограф, строится в координатах: действительная Re и мнимая Im части вектора W(jw). Данные для построения годографа можно взять из логарифмических характеристик или, как говорилось раньше, получить из формул для значения модуля А(w) и фазы j(w), придавая в формулах для модуля и фазы различные значения частоте w. При построении годографа по логарифмическим характеристикам, для взятого значения частоты, по ЛАЧХ определяем модуль вектора, причем децибелы нужно перевести в отношение, а угол поворота этого модуля относительно действительной оси берется из ЛФЧХ. Для значения частоты w, применяющейся от 0 до ¥, годограф представляет собою полуокружность, построенную на диаметре длиной “K” единиц.

       2 Расчетная часть