ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

     ОРЕНБУРГСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА 
 
 
 

Кафедра математических дисциплин 
 
 

РЕФЕРАТ 

по дисциплине: «Математика»

на тему: Точечные оценки в математической статистике 
 

Выполнила студентка

очной формы  обучения

специальности «Экономика и управление

на предприятии (городское хозяйство)»

второго курса  21 группы                                                  К. В. Эльсер 
 

Руководитель  работы Л. А. Кочетова

 

      Оглавление 

Введение 3

1 Теоретическая часть 5

     1.1 Точечные оценки  параметров генеральной  совокупности 5

2 Практическая часть 9

     2.1 Задачи 9

Заключение 12

Библиографический список 13

 

      

Введение

 

     Основной  задачей математической статистики является разработка методов получения  научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов. Эти выводы и  заключения относятся не к отдельным  испытаниям, из повторения которых  складывается данное массовое явление, а представляют собой утверждения  об общих вероятностных характеристиках  данного процесса, то есть о вероятностях, законах распределения, математических ожиданиях, дисперсиях и т. д. Такое  использование фактических данных как раз и является отличительной  чертой статистического метода.

     Пусть мы располагаем сведениями (обычно довольно ограниченными), например, о  числе дефектных изделий в  изготовленной в определенных условиях продукции или о результатах  испытаний материалов на разрушение и т. п. Собранные нами данные могут  представлять непосредственный интерес  в смысле информации о качестве той  или иной партии продукции. Статистические же проблемы возникают тогда, когда мы на основе той же информации начинаем делать выводы относительно более широкого круга явлений. Так, например, нас может интересовать качество технологического процесса, для чего мы оцениваем вероятность получения в нем дефектного изделия или среднюю долговечность изделия. В этом случае мы рассматриваем собранный материал не ради его самого, а лишь как некую пробную группу или выборку, представляющую только серии из возможных результатов, которые мы могли бы встретить при продолжении наблюдений массового процесса в данной обстановке. Выводы и оценки, основанные на материале наблюдений, отражают случайный состав пробной группы и поэтому считаются приблизительными оценками вероятностного характера. Во многих случаях теория указывает, как наилучшим способом использовать имеющуюся информацию для получения по возможности более точных и надежных характеристик, указывая при этом степень надежности выводов, объясняющуюся ограниченностью запаса сведений.

     В математической статистике рассматриваются  две основные категории задач: статистическая проверка гипотез и оценивание. Первая задача – проверка гипотез – заключается в том, что мы делаем предположение о распределении вероятностей случайной величины (например, о значении одного или нескольких параметров функции распределения) и решаем, согласуются ли в некотором смысле эти значения параметров с полученными результатами наблюдений.

     Вторая задача разделяется на точечное оценивание и интервальное оценивание параметров распределения. Например, может возникнуть необходимость по наблюдениям получить точечные оценки параметров Mx  и Dx. Если мы хотим получить некоторый интервал, с той или иной степенью достоверности содержащий истинное значение параметра, то это задача интервального оценивания.

     Подробнее в данном реферате я буду рассматривать  точечное оценивание.

 

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

     1.1 Точечные оценки параметров генеральной совокупности

     Во  многих случаях мы располагаем информацией  о виде закона распределения случайной  величины (нормальный, бернуллиевский, равномерный и т. п.), но не знаем  параметров этого распределения, таких  как Mx, Dx. Для определения этих параметров применяется выборочный метод.

     Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда. Назовем выборочной средней величину

      

Величина  называется относительной частотой значения признака x_i. Если значения признака, полученные из выборки не группировать и не представлять в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочной средней нужно пользоваться формулой

       .

     Естественно считать величину выборочной оценкой параметра Mx. Выборочная оценка параметра, представляющая собой число, называется точечной оценкой.

     Выборочную  дисперсию

      

можно считать точечной оценкой дисперсии Dx генеральной совокупности.

     Приведем  еще один пример точечной оценки. Пусть  каждый объект генеральной совокупности характеризуется двумя количественными  признаками x и y. Например, деталь может иметь два размера – длину и ширину. Можно в различных районах измерять концентрацию вредных веществ в воздухе и фиксировать количество легочных заболеваний населения в месяц. Можно через равные промежутки времени сопоставлять доходность акций данной корпорации с каким-либо индексом, характеризующим среднюю доходность всего рынка акций. В этом случае генеральная совокупность представляет собой двумерную случайную величину x, h. Эта случайная величина принимает значения x, y на множестве объектов генеральной совокупности. Не зная закона совместного распределения случайных величин x и h, мы не можем говорить о наличии или глубине корреляционной связи между ними, однако некоторые выводы можно сделать, используя выборочный метод.

     Выборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, где 
i-тый отобранный объект (i= 1,2,...n) представлен парой чисел x_i, y_i :

      

     Выборочный  коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

      

Здесь

   , ,

       .

     Выборочный  коэффициент корреляции можно рассматривать  как точечную оценку коэффициента корреляции r_xh, характеризующего генеральную совокупность.

     Выборочные  параметры  или любые другие зависят от того, какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаются от выборки к выборке. Поэтому они сами являются случайными величинами.

     Пусть выборочный параметр d рассматривается как  выборочная оценка параметра D генеральной совокупности и при этом выполняется равенство:

      Md =D.

Такая выборочная оценка называется несмещенной.

     Для доказательства несмещенности некоторых точечных оценок будем рассматривать выборку объема n как систему n-независимых случайных величин x₁, x₂,... x_n , каждая из которых имеет тот же закон распределения с теми же параметрами, что и случайная величина x, представляющая генеральную совокупность. При таком подходе становятся очевидными равенства: Mx_i = Mx_i =Mx; 
Dx_i = Dx_i =Dx  для всех k = 1,2,...n.

     Теперь  можно показать, что выборочная средняя  есть несмещенная оценка средней генеральной совокупности или, что то же самое, математического ожидания интересующей нас случайной величины x:

       .

     Выведем формулу для дисперсии выборочной средней:

       .

     Найдем  теперь, чему равно математическое ожидание выборочной дисперсии s ². Сначала преобразуем s ² следующим образом:

      

      

      

Здесь использовано преобразование:

      

      

     Теперь, используя полученное выше выражение  для величины s ², найдем ее математическое ожидание.

      

      

       .

     Так как Ms ² ¹ Dx, выборочная дисперсия не является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

     Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии  генеральной совокупности, нужно  умножить выборочную дисперсию на . Тогда получится величина , называемая исправленной выборочной дисперсией.

      

     Пусть имеется ряд несмещенных точечных оценок одного и того же параметра  генеральной совокупности. Та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию, называется эффективной.

     Полученная  из выборки объема n точечная оценка d_n параметра D генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходится по вероятности к D. Это означает, что для любых положительных чисел e и g  найдется такое число n_eg , что для всех чисел n, удовлетворяющих неравенству n > n_eg выполняется условие . и являются несмещенными, состоятельными и эффективными оценками величин Mx и Dx.