Статистика теориясына кіріспе

 Енді   орташа  сызықтық  ауытқуды  жай   түрі  бойынша  есептейміз  жіне  ол   360 теңгеге  тең   болады: 

                           Σ (x – x )        1800

                  d =                    =               = 360теңге.

                                 n                5 

 Шаршыранды  немесе  дипресия   деп  әрбір  қатардағы  белгінің  (х)алдындағы  айырмаларды (х-х)  екі есе дәрежелеп (х-х)²  және  бір – біріне  қосып, одан  шыққан  ауытқу  қосындыны  Σ(х -х)² белгі санына (n), немесе  дәрежеленген  ауытқу  көрсеткіштері жиеліктеріне (f)  көбейтіп, оның  қосындысын  [ Σ (х-х)² f ]  сол жиеліктің жалпы жиынтығына (f)  бөлгеннен шыққан  бөліндіні айтады.

 Шашырандының  анықтамасын  қысқарған  түрде  былай  айтуға  болады:орташа  сызықтық  ауытқудың  алымындағы  жақша ішіндегі  көрсеткіштерді  дәрежелеу.

 Өзгерменің  коэффиценті  дегеніміз  орташа  шаршы ауытқу (ơ) көрсеткішін арифметикалық орташа  шамаға  (х)-кіші  бөлу.Статистикада ол  латынның  V- әріпімен  белгіленеді және  мына  формула арқылы  есептеледі:

                                              ơ

                                      V =       = · 100‚

                                             X 

      мұнда ơ – орташа  шаршы  ауытқу;

       х- арифметикалық  орташа  шама.

 Статистикалық  сандық  қатар белгілері  мен  жиілік  мәндеріне  байланысты    шашыранды  мен  орташа  шаршы  ауытқуды  есептеу  кейбір  жағдайда  қиындау  тиеді.Сондықтан, жұмыс  көлемі  мен  есептеу  тәсілін  жеңілдету  үшін  төменгі  берілген  математикалық  қасиеттерге  сүйенуге  болады:

1. Егер  барлық  белгі  мәндерінін  (х)  тұрақты  бір  шаманы  (А) алсақ, одан  шашырандының  мәні  өзгермейді: 

  

                               ơ ² (х-А) = ơ ²

Демек,  шашырандыны берілген  белгілі мәндерімен  емес, олардың тұрақты бір шамадан   ауытқыған мәндері бойынша   есептеуге болады:

                                   

                               ơ ² = ơ ² (х-А)

2.Егер  барлық  белгі  міндерін тұрақты  бір  шамаға  (А) бөлсек, онда  шашыранды  А² рет, ал  орташа  шаршы  ауытқу  А рет  азаяды: 

                               ơ ² [  ]= ơ ²: А² 

Демек, барлық  белгі  мәндерін  тқрақты  бір  шамаға  бөлу  арқылы  (деңгей  арлығының  айырмасына)  орташа  шаршы  ауытқудыды  табамыз, ол  содан  кейін  оны  тұрақты  шамаға  көбейтеміз: 

                              ơ = ơ [  ] ·А 

3.Орта  шамалық   шашыранды  әрқашан  кез  – келген  шамадан  есептелген  шашырандыдан  аз  болады: ơ ²  > ơ ²‚мұнда ơ ² кез –  келген  шамадан есептелген  шашыранды; ơ ² - орта  шамалық шашыранды.

4.Шашыранды   мәнінің  шаршысы  орташа  мен  олардың  орта  шама  шаршысының  айырмасына  тең   болады:

                             ơ ² = х²-х ²‚ 

                                           

мұнда  х ² =  ———‚         х²=(—) 

Енді  шашыранды  былай  жазуға  болады:

                                                            

                            ơ ²  = —— - (——) 

Енді  белгі  мәндері  кіші  сандық  көрсеткіштермен  берілетін  болса, онда  осы  формуланы  қолдау  өте  ыңғайлы  болады. Оны  нақты  көрсету  үшін  8.3- кесте  көрсеткіштеріне  қайта  ораламыз  және  9.3- кестеде  қысқа  түрде  көрсетеміз:

 

              Шашырандыны  ơ² = х² - х²  формула  бойынша  есептеу

      

                       

   Статистикалық   жиынтықтардың  өзгермелі, құбылмалы   белгілеріне  түрлі  себептер  әсерін  тигізеді. Олар  өздерінің тигізетін әсерлеріне  қарай кездейсоқ  және  тұрақты  болып  екіге  бөлінеді. Соған  сәйкес  өзгерме  де  кездейсоқ  және  тұрақты  болуы  мүмкін. Бірақ  оларды  бір – бірінен  ажырата  білуміз  және  жалпы өзгермедегі атқаратын рөлін анықтаумыз  қажет. Жалпы статистикалық көрсеткіштерге  талдау  жасау кезінде қортындылаушы өзгерме   көрсеткіштердің ішінде  жиі қолданылатын  түріне  жататыны   шашыранды  болып  саналады.

   Статистикада  біртектес  өзгерме көрсеткіштерінің  бір немесе  бірнеше топтарға  бөлуіне байланысты  шашыранды да  үш  тұрге бөлінеді: жалпы,  топаралық және  топтық  немесе топішілік.

   Жалпы  шашыранды (ơ ²).Біз оны жоғарыда  қарастырдық. Ол  жалпы өзгермелі жиынтық  белгілеріне әсерін  тигізетін барлық  жағдайлар     мен себептерді   сипаттайды.

   Топаралық   шашыранды  (δ²)  деп  жеке  топтық  орташа  шаманың  жалпы   жиынтықты  орташа  шамадан   ауытқуын   айтады.

   Топаралық   шашыранды  өзгерме  белгілеріне   әсер  тигізетін  тұрақты  себептерді  көрсетеді. Мұнда  топтау  негізінде  әсерін  тигізетін  себептердің  өзгергендігі  қарастырылады. Яғни  жалпы  жиынтықтың өзіне  тән  өзгермелі   белгілері  бойынша  жеке  топтарға  бөлінуін  анықтайды.

 Топтық  (топішілік)  шашыраннды  немесе  орташа  топтық  шашыранды (ơ² және ơ²) деп  әрбір  топ  бойынша  кездейсоқ  себептердің  тигізген  әсерінен  оның  өзгергендігін  және  мәні  мен  маңызын  анықтауды  айтады.

  Орташа  топтық  шашырандыны  топтау  негізіндегі  себептерден  әсер  етуінен  оның  кездейсоқ   өзгергендігі  көрсетіледі.Оны  есептеу  үшін  ең  алдымен  әрбір  топ   бойынша  топтық  шашыранды  (ơ²)‚содан  соң  осы  көрсеткіштер  арқылы  орташа  топтық  шашыранды  есептелінеді.

   Математикалық   статистикада  жалпы шашыранды (ơ²)  әрқашанда топаралық   шашыранды (δ²)  мен орташа  топтық  шашыранды (ơ²) шамаларының қосындысына тең болады  деп дәлелденген. Және  олардың бір – бірімен байланыстылығы  мына  формула арқылы  көрсетіледі:

                                

                                                 ơ² = δ² + ơ² 

   Мұны  шаршынды  қосындысының  ережесі   деп  айтады.

 Бұл  ереженің  өзіне  тән  ілімдік  және  тәжрибелік  маңызы  мынада:  біріншіден, егер  жоғарыда  берілген  теңдестіктің  екі  шамасы  белгілі  болса, онда  үшінші  белгісіз  шаманы  анықтауға  немесе  есептелген  көрсеткіштердің  дұрыстығын  тексеру  қиындық  тудырмайды.Оны  мынадай  түрде  жазуға  болады: δ² = ơ² - ơ² ; ơ² = ơ² - δ².Екіншіден, бұл  ереженің   маңызды  болып  саналатыны  сонда, егер  жалпы шаршынды  мен топаралық шаршынды  есептелген  болса, онда  топтау  белгісінің  әсерін  тез анықтай аламыз. Үшіншіден, топтық  шаршынды   жалпы шаршындыдан әрдайым кіші  болады  ơ² < ơ². Себебі, жеке  жиынтық бірліктері  жалпы  жиынтық  бірліктерімен  салыстырғанда біртекті  болып  келеді.

  Себебі, жеке  жиынтық  бірліктері  жалпы   жиынтық  бірліктерімен  салстырғанда  біртекті  болып  келеді.

   Егер  топаралық  шаршындыны  жалпы   шаршындыға  бөлетін  болсақ, онда  одан  шыққан  көрсеткішті   төмендеу (детерминация)  коэффициенті  деп  атайды.

 Сонымен, жоғарыда  берілген  шашырандының  түрлері  мен  қосу  ережесін  толық  түсіну  үшін  нақты  мысал  ретінде   төменде  берілген  көрсеткіштерді  есептейміз: 

    

 Осы  берілген  көрсеткіштерді  қолдана  отырып  ықшамдалған  тәсілмен  зауыт  және  әрбір  цех  бойынша  ортақ  айлық   еңбекақы  мөлшерлерін, шашырандыларды  есептейміз.  Ол  үшін  қосымша  есептеу  кестесін  құрастырамыз.

  Енді  кесте  бағаналарындағы  есептелген  көрсеткіштер  арқылы  зауыт   және  әрбір  цех  бойынша   ықшамдалған  тәсілдің  мына  формуласын   

 х =A+ m d  қолдана  отырып  орташа  айлық  еңбекақыны  анықтаймыз.

 Саналы (альтернативті)  белгілі  шашыранды.Әлеуметтік – экономикалық  құбылыстар  мен  процестерді   зерттеу  кезінде  оның  бөліктері  өзіне  тән  сандық  белгілері  бойынша  қарастырылса, кейбір  дағдайда  осы  құбылыстардың  жеке  бөліктерін  сапа  бойынша қарасыруға  тура  келеді. Себебі,  олардың бегілі  бір бөлігінде сапа  белгісі болса, қалған  бөлігінде оның  болмауы мүмкін.Мысалы, бір топта оқитын  студенттердің үлкен бөлігін өте жақсы және  жақсы оқитындар  тобына  жатқызсақ, ал  қалған  бөлігі  төменгі  топқа  жатады. Немесе  шағарылған  100 дана  өнімнің 80  данасы  жоғары  сапалы  десек, қалған 20 данасы  төмен сапалы  болуы мүмкін.Демек, өндірілген  өнім  көлемі  жоғары  және  төмен сапалы  екі бөліктен  тұрады. Статистикада  мұндай  бөліктерге  бөлінуді  сапалы (альтернативті) белгілі  өзгерме  көрсеткіші  деп  атайды.