Статистика расчеты

Связь является тем более тесной и близкой  к функциональной, чем ближе значение коэффициента к 1.

По формуле  линейного коэффициента (3.7) рассчитывают также парные коэффициенты корреляции, которые характеризуют тесноту  связи между парами рассматриваемых  переменных (без учета их взаимодействия с другими переменными).

Рассчитав по формуле (3.7) линейные коэффициенты корреляции для значений Х, получили:

Таблица 3.7 Линейные коэффициенты корреляции

         

Показателем тесноты связи между результативным и факторным признаками является коэффициент множественной корреляции R. В случае линейной двухфакторной связи он может быть рассчитан по формуле

           (3.8)

       где r – линейные (парные) коэффициенты корреляции.

       Значение  этого коэффициента может изменяться от 0 до 1.

Коэффициент R² называется коэффициентом множественной детерминации и показывает, какая доля вариации изучаемого показателя обуславливается линейным влиянием учтенных факторов. Значения коэффициента находятся в переделах от 0 до 1. Чем ближе R² к 1, тем большим является влияние отобранных факторов на результирующий признак.

     Завершающим этапом корреляционно-регрессионного  анализа является построения  уравнения множественной регрессии  и нахождение неизвестных параметров  а₀, а₁, а₂, …, а_n выбранной функции. Уравнение двухфакторной линейной регрессии имеет вид: 
 

       y_x =a₀ + a₁ x₁ + a₂x₂      (3.9)

где y_x – расчетные значения результирующего признака;

      x₁ и x₂ – факторные признаки;

     a₀; a₁; a₂ – параметры уравнения.

     Для нахождения параметров  уравнения a₀; a₁; a₂ строится система нормальных уравнений

       na₀ + a₁ Σ x₁ + a₂ Σ x₂ = Σy

       a₀ Σ x₁ + a₁ Σ x₁² + a₂ Σ x₁x₂ = Σyx₁   (3.10)

       a₀ Σ x₂ + a₁ Σ x₁x₂ + a₂ Σ x₂² = Σyx₂

Используя данные (приложения Ш) система  уравнений принимает вид:

       20a₀ + a₁ 251,132 + a₂ 1444,8 = 58,03

       a₀ 251,132 + a₁ 3373,846 + a₂ 18816,68 = 709,8559   

            a₀ 1444,8 + a₁ 18816,68 + a₂ 106631,28 = 4135,326

            a_{0 =3,0064}

            a_1=-0,1747

            a_2=0,0289

_{Уравнение примет вид:  У=3,0064+(-0,1747)} x_1+0,0289 x₂                   (3.11)

     Целью рассмотренного примера  является корреляционно-регрессионный  анализ зависимости фондоотдачи  у от фондовооруженности х₂ и уровня образования населения, занятого в народном хозяйстве x₈.

Правильность  расчета параметров уравнения регрессии  может быть проверена сравнением сумм фактических и расчетных  данных. При этом, возможно некоторое  расхождение вследствие округления расчетов.

Выполнив  расчет подставив значения в формулу (3.11) получим: 

Таблица 3.8.

Расчёт  фондоотдачи в зависимости от фондовооруженности и уровня образования населения, занятого в народном хозяйстве. 

 

3.6 Проверка адекватности  регрессионной модели 

     Значимость коэффициентов регрессии (численностью до 30 единиц) осуществляется с помощью t – критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения.

Для параметра  а_о: 

     t_ao=                  (3.12)

                                                  t_ao=                   

для параметра  а₁: 

     t_a1=              (3.13)

                                               t_a1=               

для параметра  а₂: 

t_a2=               (3.14)

                                               t_a2=                

где n – объем выборки;

- среднее  квадратическое отклонение результативного признака у от расчетных значений ;                                                         (3.15)

-среднее  квадратическое отклонение факторного признака х₁ от среднего арифметического значения этого признака;                (3.16)

 

- среднее  квадратическое отклонение факторного признака х₂ от среднего арифметического значения этого признака;     (3.17)

Таблица 3.9 - Расчетные  значения, необходимые для вычисления средне- квадратического отклонения результативного признака

 

     Расчетные значения t-критерия Стьюдента сравнивают с табличными. Табличные значения выбираются в зависимости от уровня значимости (α=0,05) и числа степеней свободы r=n-2 (n – число факторных признаков в уравнении). Параметр признается значимым (существенным) при условии, если расчетное значение больше табличного.

Пример  расчета представлен в табл. 3.9

Расчетные значения, необходимые для вычисления среднеквадратического отклонения факторных признаков представлены в табл. 3.10

Таблица 3.11 - Вычисление среднеквадратического  отклонения факторных признаков

 
 

По таблице  распределения Стьюдента (приложение Щ) для числа степеней свободы 20-2=18 и уровня значимости 0,05 находим критические  значения t-критерия: t_табл=1,734

Расчетное значения для параметра а₀ – фондоотдача (выходной показатель) и a₁ - фондовооруженность (в тыс. руб./чел.) больше, поэтому они признаются значимыми.

3.7  Оценка достоверности  полученных прогнозов

     Для оценки качества полученных тремя способами прогнозов используется следующий приём. Весь исходный для расчетов период времени делится на две части. Одна из них, охватывающая более ранний период времени и включающая не менее 2/3 уровней динамического ряда, используется для расчета параметров модели. Другая, более поздняя, часть временного периода используется для контроля за прогнозом, т.е. принимается условно за прогнозируемый период. Рассчитанные "прогнозные" значения соответствующего показателя на каждый год условно прогнозируемого периода сопоставляются с фактическими. Разности между ними представляют ошибки прогноза.

     Для определения размеров погрешности  или точности прогноза показателя Y рассчитаем коэффициент несоответствия Тейла по формуле. Числителем этого показателя является средняя квадратическая ошибка прогноза, а знаменателем – квадратный корень из среднего квадрата фактических значений показателя за условный прогнозируемый период.  

(3.18)

     Числителем этого коэффициента  является средняя квадратическая ошибка прогноза, а знаменателем - квадратный корень из среднего квадрата фактических значений показателя за условный прогнозируемый период. Этот показатель изменяется от 0 до 1. Чем ближе его значение к нулю, тем лучше результаты прогнозирования

     Проверку статистической значимости  модели можно осуществлять с помощью дисперсионного анализа, который позволяет установить, изменяется ли соответствующий показатель в значительной мере под влиянием отобранных факторов или это изменение носит случайный характер.

Для этого рассчитаем фактическую и остаточную дисперсии  по формулам

        _(3.19)

_,     (3.20)

где, п- число наблюдений, m -количество параметров в уравнении регрессии.