Лабораторная  работа №3

Статистическое  моделирование эксперимента с днями рождения.

 
 

1. Объектом исследования  является вероятность выпадения  двух совпадающих чисел из 365 в  зависимости от числа экспериментов.  В нашем случае мы рассматриваем  дни рождения и число экспериментов, это, по сути, число участвующих человек. 

2.  Для построения  мат. модели предполагаем, что  дата дней рождения является  случайными числом от 1 до 365, все  даты равновероятны. Данное упрощение  применимо, т.к. случайным образом  происходит отбор людей, хотя в некоторые месяцы (например, август) женятся чаще.

Вариант№1

А={хотя бы у двух участников эксперимента из n человек  дни рождения совпадут}

Всего N экспериментов.

N=20;

u=1;

for n=10:80 

for k=1:N

    Mas=floor(rand(1,n)*365+1);

    i=0;

    d=1;

    rez=0;

    while d==1

        c=1;

        i=i+1;

        j=i;

        while c==1

            j=j+1;

            if Mas(i)==Mas(j)

                c=0;

                d=0;

                rez=Mas(j);

            end

            if j==n

                c=0;

            end

        end

        if i==(n-1)

            d=0;

        end

    end

    O(k)=rez

end

O

s=sum(O==0);

S=N-s;

A(u)=S/N

u=u+1;

end

plot (A) 

Рис. Зависимость  вероятности совпадения от количества человек (n) в 20-ти экспериментах. 

При различных n будет различное значение статистической частоты встречаемости. Причем при n=23 она переходит за 50%. С увеличением  числа опытов N, уменьшается отклонение значения статистической частоты от теоретической вероятности, что подтверждает теорему Бернулли.

При n=23 статистическая частота около 50%, при 77 - около 99,9%

Вариант №2

Теперь рассматриваемым  объектом будет номер человека, на котором произошло совпадение дат.

Проделаем 10000 экспериментов:  

for u=1:10000

a(1)=0;

p=0;

i=1;

while p==0

      a(i+1)=ceil(365*rand);

      for k=1:i

            if a(i+1)-a(k)==0;

                  p=1;

            end

      end

i=i+1;

end

k=i-1;

A(u)=k;

end

hist(A,1:5:100)

grid;

По гистограмме  видно, что большинство совпадений приходится на второй десяток человек, несколько реже происходят совпадения у людей с номером больше 30, и еще реже у людей с номером  меньшим 20. Полученные результаты вполне соответствуют проделанному ранее эксперименту, там, когда число участников доходит до 20 вероятность совпадения дат возрастает до 50%! 
 
 
 
 

Теперь повторим эксперименты с другим условием: «  Дни рождения совпадут хотя бы у  трех участников»: 

for u=1:10000;

a(1)=0;

p1=0;

p2=0;

i=1;

while p2==0

  while p1==0

        a(i+1)=ceil(365*rand);

        for k=1:i

           if a(i+1)-a(k)==0;

          p1=1;

            break  %Выйдем из цикла если произошло первое совпадение

          end

      end

      for k=k:i  %Продолжим цикл для проверки второго совпадения

          if a(i+1)-a(k)==0;

          p2=1;

          end

      end

  i=i+1;

  end

end

k=i-1;

A(u)=k;

end

hist(A,1:2:100)

 

Получили результат  в эксперименте похожий на теорию.