Средние величины и показатели вариации

Средние величины и показатели вариации.

 

Понятие о средней  величине

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения  полученных первичных статистических данных. Потребность определения  средних величин связана с  тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя. Например, для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.

При исследовании совокупности с качественно  разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними.

Таким образом, значение средних величин  состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое  число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в  свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.

 

Виды средних величин

Используются две категории  средних величин: степенные средние; структурные средние.

Первая категория степенных  средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую и среднюю геометрическую.

Вторая категория (структурные  средние) - это мода и медиана.

Введем следующие условные обозначения:

- величины, для которых исчисляется  средняя;

- средняя, где черта сверху  свидетельствует о том, что  имеет место осреднение индивидуальных значений;

- частота (повторяемость индивидуальных  значений признака).

Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя  геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

Средние величины бывают простые и взвешенные.

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Формула средней арифметической (простой) имеет вид

где n - численность совокупности.

При расчете средних  величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид

Средняя гармоническая. Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы:

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная:

Средняя геометрическая. Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста).

Для простой средней геометрической

Для взвешенной средней геометрической

Показатели вариации

Для измерения вариации признака используют как абсолютные, так и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию. К относительным показателям вариации относят: коэффициент вариации.

Размах вариации R. Это самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности:

Среднее линейное отклонение d, которое вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Формула среднего линейного  отклонения (простая)

Формула среднего линейного  отклонения (взвешенная)

Среднее квадратическое отклонение: (простое)

Среднее квадратическое отклонение (взвешенное)

Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

Формулы дисперсии взвешенной и простой :