Расчет абсолютных показателей вариации

    Содержание

    Введение………………………………………………………………………..2

    1. Размах вариации….. ………………………………………………………..3

    2. Среднее линейное и среднее квадратическое отклонение….. …………..4

    3. Дисперся……………………………………………………………………..6

    Заключение…………………………………………….……………………….8

    Список  литературы…………………………………………………………….9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение

    Вариацию можно определить как количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Термин «вариация» имеет латинское происхождение - variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение.

    Для измерения вариации признака используют как абсолютные, так и относительные  показатели.

    К абсолютным показателям  вариации относятся:

    - размах вариации, 

    - среднее линейное отклонение,

    - среднее квадратическое отклонение,

    - дисперся. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Размах  вариации.

    Размах  вариации определяется как абсолютная величина разности между максимальными и минимальными значениями (вариантами) признака:

    

    Размах  вариации показывает  только крайние отклонения признака и не отражает отдельных отклонений всех вариантов в ряду. Он характеризует пределы изменения варьирующего признака и зависим от колебаний двух крайних вариантов и абсолютно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, что придает этой величине, случайный характер. Для анализа вариации нужен показатель, который отражает все колебания вариационного признака и даёт общую характеристику. Простейший показатель такого вида - среднее линейное отклонение.

    Пример

    Опыт  работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2,3,4,7 и 9 лет. 
Решение: размах вариации = 9 — 2 = 7 лет.

    Для обобщенной характеристики различий в  значениях признака вычисляют средние  показатели вариации, основанные на учете  отклонений от средней арифметической. За отклонение от средней принимается разность  .

    При этом во избежании превращения в нуль суммы отклонений вариантов признака от средней (нулевое свойство средней) приходится либо не учитывать знаки отклонения, то есть брать эту сумму по модулю  , либо возводить значения отклонений в квадрат 

 
 
 
 
 

2. Среднее линейное и квадратическое отклонение.

    Среднее линейное отклонение   — это средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.

    Среднее линейное отклонение простое:

    

    Опыт  работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2,3,4,7 и 9 лет.

    В нашем примере:   лет;

    

    Ответ: 2,4 года.

    Среднее линейное отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:

    

    Среднее линейное отклонение в силу его условности применяется на практике сравнительно редко (в частности, для характеристики выполнения договорных обязательств по равномерности поставки; в анализе  качества продукции с учетом технологических  особенностей производства).

    Среднее квадратическое отклонение

    Наиболее  совершенной характеристикой вариации является среднее квадратическое откложение, которое называют стандартом (или стандартным отклонение). Среднее квадратическое отклонение ( ) равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:

    Среднее квадратическое отклонение простое:

    

    

    Среднее квадратическое отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:

    

    Между средним квадратическим и средним линейным отклонениями в условиях нормального распределения имеет место следующее соотношение:   ~ 1,25.

    Среднее квадратическое отклонение, являясь основной абсолютной мерой вариации, используется при определении значений ординат кривой нормального распределения, в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик, а также при оценке границ вариации признака в однородной совокупности.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Дисперсия.

    Дисперсия  - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

    Дисперсия простая:

    

    В нашем примере:

    Дисперсия взвешенная:

    

    Более удобно вычислять дисперсию по формуле:

    

    которая получается из основной путем несложных преобразований. В этом случае средний квадрат отклонений равен средней из квадратов значений признака минус квадрат средней.

    Для несгрупиированных данных:

    

    Для сгруппированных данных:

    

    Вариация  альтернативного  признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Количественно вариация альтернативного признака выражается двумя значениями: наличие у единицы изучаемого свойства обозначается единицей (1), а его отсутствие — нулем (0). Долю единиц, обладающих изучаемым признаком, обозначают буквой  , а долю единиц, не обладающих этим признаком — через  . Учитывая, что p + q = 1 (отсюда q = 1 — p), а среднее значение альтернативного признака равно 

     ,

    средний квадрат отклонений

    

    Таким образом, дисперсия альтернативного  признака равна произведению доли единиц, обладающих данным свойством ( ), на долю единиц, данным свойством не обладающих ( ).

    Максимальное  значение средний квадрат отклонения (дисперсия) принимает в случае равенства  долей, т.е. когда   т.е.  . Нижняя граница этого показателя равна нулю, что соответствует ситуации, при которой в совокупности отсутствует вариация. Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака:

    

    Так, если в изготовленной партии 3% изделий  оказались нестандартными, то дисперсия  доли нестандартных изделий  , а среднее квадратическое отклонение   или 17,1%.

    Среднее квадратическое отклонение   равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической.

 
 
 
 
 
 

    Заключение.

    Вариация — это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение и является необходимым звеном в экономическом анализе. Необходимость изучения вариации связана с тем, что средняя, являясь равнодействующей, выполняет свою основную задачу с разной степенью точности: чем меньше различия индивидуальных значений признака, подлежащих осреднению, тем однороднее совокупность, а, следовательно, точнее и надежнее средняя, и наоборот. Следовательно по степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Список  используемой литературы.

1.   Статистика: Учебник/Под ред. В.Г. Ионина. - М.: ИНФРА-М, 2008. 
2.   Курс теории статистики: Учебник/Под ред. В.Н. Салина, Э.Ю. Чурикова. – М.:                                                                        Финансы и Статистика, 2006. 
3. Годин А.М. Статистика: Учебник. – М.: Дашков и К’, 2008. 
4. Галкина В.А. Статистика: Учебное пособие: М.: РГАЗУ,2002. 
5. Громыко Г.Л. Теория статистики. Практикум. - М.: ИНФРА-М, 2008. 
6. Теория статистики: Учебник/Под ред. Р.А Шмойловой М.: Финансы и Статистика,2007.