Генеральной дисперсией D_r называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней х_r.

     Генеральной средней х_сред (или а) называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

     Выборочной  средней называется  среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

     Выборочной  дисперсией D_B называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых  значений признака X от выборочной средней.

     Выборочным  средним   квадратическим   отклонением (стандартным отклонением) называется квадратный корень из выборочной дисперсии.

     Точечной  оценкой называется оценка, которая характеризуется одним число.

     Интервальной  оценкой называется оценка, которая определяется двумя числами, которые являются  концами (границами) интервала. 

3. Примеры задач по математической статистике 

     Задача  1.

     Известны  данные о количестве прочитанных страниц студентами в течение семестра: 2, 3, 5, 15, 40, 40, 15, 2, 3, 5. Составить вариационный ряд статистического распределения частот и построить полигон частот.

     Решение.

     Составим  вариационный ряд частот:

     2, 3, 5, 15, 40 – вариационный ряд.

     Запишем имеющиеся данные в виде таблицы:

     Используя таблицу, построим полигон частот:

     

     Задача 2.

     Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найти доверительный  интервал для σr с надежностью  γ = 0,95, если п = 20, s = 0,40.

     Решение.

     Для γ = 0,95 и п = 20 находим в таблице  приложения  q=0,37<1.

     sq = 0,40 • 0,37 = 0,15.

     Концы доверительного   интервала:

     0,40 – 0,35 = 0,25   и   0,40 + 0,15 = 0,55.

     Ответ. Доверительный интервал (0,25; 0,55) покрывает  σr с надежностью 0,95.

     Задача 3.

     Дано: объем выборки n=20,  X cред =340,  “исправленное” среднее квадратическое отклонение  s= 20. Определить доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с той же надежностью.

     При решении задачи исходить из предположения, что данные взяты из нормальной генеральной совокупности. 
 
 

     Решение.

     Для надежности γ = 0,95 и n - 20 находим в таблице приложения   q = 0,37 <1.

     sq = 20 · 0,37 = 7,4.

     Концы доверительного интервала 20 – 7,4 =12,6 и 20 4+ 7,4 = 27,4.

     Ответ: 12,6 < а < 27,4,

     Задача 4.

     По  данным 9 независимых равноточных  измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений равно 42,319 и “исправленное” среднее квадратическое отклонение s = 5,0. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины с надежностью у = 0,99.

     Решение.

     Истинное  значение измеряемой величины равно  ее математическому ожиданию. Поэтому  задача сводится к оценке математического  ожидания (при неизвестном σ) при  помощи доверительного интервала, покрывающего а с заданной надежностью γ = 0,99.

     Пользуясь таблицей приложения 4 по γ = 0,99 и п = 9, находим tv = 3,36.

     Найдем  точность оценки:

     Для этого нужно вычислить концы доверительного интервала:

     42,319 – 5,60 = 36,719 и  42,319 + 5,60 = 47,919.

     Ответ: с надежностью y = 0,99 истинное значение измеренной величины а заключено в доверительном интервале 36,719 < а < < 47,919.

      Задача 5.

 Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки взято 130 из 2000 упаковок, содержащихся в партии, и получены следующие данные об их весе: 

 

      Требуется используя критерий Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – вес упаковок – распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

1012,5

= 615,3846

Решение. 

      Теоретическое нормальное распределение имеет вид:

      подставляем  а = 1012,5     = 615,3846  24,8069

      Для расчета вероятностей p_i попадания случайной величины в интервал [x_i ; x_i+1] используем функцию Лапласа:

 
 
 
 
 
 
 
 

     в нашем случае получаем:

 
 

Примечание: Такие симметричные вероятности получились из-за того, что по нашим начальным условиям выборочная средняя попала точно в середину среднего интервала выборки.

      Составим  таблицу 
 

      Итого, значение статистики .

      Определим количество степеней свободы по формуле: .

      m – число интервалов (m = 5).

      r – число параметров закона распределения (в нормальном распределении r = 2).

      То  есть k = 2. Соответствующее критическое значение статистики .

      Поскольку , гипотеза о нормальном распределении с параметрами N(1012,5; 615,3846) согласуется с опытными данными.

      Ниже  показана гистограмма эмпирического  распределения и соответствующая  нормальная кривая.

     

 

4. Применение математической статистики 

     Сфера применения математической статистики распространилась во многие, особенно экспериментальные, науки. Так появились экономическая статистика, медицинская статистика, биологическая статистика, статистическая физика и т.д. С появлением быстродействующих ЭВМ возможность применения математической статистики в различных сферах деятельности человека постоянно возрастает. Расширяется ее приложение и к области физической культуры и спорта. В связи с этим основные понятия, положения и некоторые методы математической статистики рассматриваются в курсе “Спортивная метрология”.

     Статистические методы применимы всюду, где удается построить и обосновать вероятностную модель явления или процесса. Их применение обязательно, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции).

               В конкретных областях применений  используются как статистические  методы широкого применения, так  и специфические. Например, в разделе  производственного менеджмента,  посвященного статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику. С помощью ее методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим методам относятся методы статистического приемочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надежности и др.

     Связь математической статистики с теорией  вероятностей имеет в разных случаях  различный характер. Теория вероятностей изучает не любые массовые явления, а явления случайные и именно «вероятностно случайные», т. е. такие, для которых имеет смысл говорить о соответствующих им распределениях вероятностей. Тем не менее теория вероятностей играет определенную роль и при статистическом изучении массовых явлений любой природы, которые могут не относиться к категории вероятностно случайных. Это осуществляется через основанные на теории вероятностей теорию выборочного метода и теорию ошибок. В этих случаях вероятностным закономерностям подчинены не сами изучаемые явления, а приемы их исследования. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Список литературы 

     

1. Гмурман В. Е. «Теория вероятности и математическая статистика».

     2. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статистику: Учебник. М.: Издательство ЛКИ, 2010. —600 с.

     3. Козлов М. В., Прохоров А. В. Введение в математическую статистику.— М.: Изд-во МГУ, 1987. —264 с.

     4. Математическая статистика А.А.Боровков. Общая теория статистики.  Финансы и статистика, М. - 1996г.

     5. Общая теория статистики. Под ред. А.А. Спирина, О.Э. Башиной. М., Финансы, М. -1995г.

     6. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. — 256 с..

     7. Теория статистики с основами теории вероятностей: Учеб. пособие для вуэов/И.И. Елисеева, B.C. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.A. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 446 с.

     8. При написании работы были использованы материалы с сайта http://gouspo.ru/?page_id=13.

     9. http://www.tstu.ru/education/elib/pdf/2005/plotnik.pdf.