Обработка результатов многократных измерений

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Тульский  государственный университет 

Кафедра «Инструментальные и метрологические  системы» 
 
 
 
 
 
 

Контрольно-курсовая работа

по дисциплине

«МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И 

СЕРТИФИКАЦИЯ» 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

                                                                          Выполнил: ст. гр. 321671                                                                                                 

                                                                                           Астафьев М.В.

                                                                          Проверил: Соловьев С.И.

                                                                          

                                                                                   
 
 
 
 

Тула 2010  

     Обработка результатов многократных измерений. 

       1. Используя полученные данные, найдем значение среднего арифметического  и оценки среднего квадратического отклонения :

     

;

     

. 

     Стандартное отклонение является статической оценкой среднего квадратического отклонения.    

     

     

. 

     2. С помощью правила «трех сигм»  проверяем наличие или отсутствие  грубых промахов. 

     

,

     

. 

     Ни  один из результатов не выходит за границы интервала [ ; ], следовательно, с вероятностью 0,9973 принимается гипотеза об отсутствии грубых промахов. 
 

     3. Построение гистограммы и выдвижение  гипотезы о виде закона распределения вероятности. 

     Для построения гистограммы, необходимо результаты отдельных измерений расположить в так называемый вариационный ряд по возрастанию их численных значений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Таблица 1

 

     Участок оси абсцисс, на котором располагается  вариационный ряд значений физической величины, разбивается на k=8 одинаковых интервалов .

     Ширину  интервала определим по формуле:

     

     Выбираем  начало первого интервала так, чтобы его значение оказалось меньше минимального результата вариационного ряда, а последний интервал покрывал бы максимальное значение ряда. Примем начало первого интервала в точке 26,967 , тогда конец последнего (9-го) интервала окажется в точке 27,703.

     Подсчитаем  для каждого интервала количество результатов  , попавших в каждый отдельный интервал, используя формулу:

     

. 

                                                        начало             окончание      кол-во совпадений m_i

первый интервал составляет          26,967      до         27,059                     4  

второй интервал составляет           27,059      до         27,151                    11  

третий интервал составляет           27,151      до         27,243                   12

четвертый интервал составляет     27,243      до        27,335                  11

пятый интервал составляет            27,335      до         27,427                  14

шестой интервал составляет          27,427     до         27,519                    21

седьмой интервал составляет        27,519      до         27,611                  18

восьмой интервал составляет         27,611      до         27,703                    9 
 
 
 

     

 

     

 

 

                                

                 

     Результаты  производимых вычислений занесем в  таблицу 2 (см. прил. 2), а затем построим саму гистограмму (см. прил. 1). 

     Из  вида гистограммы на рис.1 можно сделать  предположение о том, что вероятность  результата измерения подчиняется  нормальному закону. Необходимо правдивость этой гипотезы. 

     4. Для проверки нормальности закона применим критерий Пирсона.

     Если  выдвинута гипотеза о нормальности распределения, то для расчета вероятностей используем функцию Лапласа:

     

,

где – значения соответствующие началу и концу интервала.

     Если в интервал попадает меньше пяти наблюдений, то такие интервалы необходимо объединить с соседними, соответственно изменяя и параметр . Так объединим в один первые два интервала. Общее число интервалов станет равным 7.

     Для каждого из этих значений рассчитаем относительный доверительный интервал t по формуле:

     

.

       Затем из таблиц Лапласа найдем  соответствующие значения функций  Ф( ) и Ф( ). При этом будем иметь в виду, что конец предыдущего интервала является началом последующего. 

     1 интервал:             

     

,

     

.

     

                              
 
 
 

     2  интервал:            

     

,

     

.

     

                              

     3  интервал:            

     

,

     

. 

     

                              

     4  интервал:               

     

,

     

.

     

                              

     5  интервал:              

     

,

     

.

     

                              

     6  интервал:              

     

,

     

.

     

                              

     7  интервал:              

     

,

     

.

     

                              

     На  основании вычисленных значений функции Лапласа получаем: 

     

 

     Рассчитанные  значения занесем в таблицу 2 и на их основе произведем расчет значений - критерия для каждого интервала.

     Значения  критерия для отдельного интервала  рассчитаем по формуле:

     

,

где n – общее количество проведенных измерений,

      m – число результатов измерений, попавших в данный интервал. 

     

 

     Суммарное значение критерия определим по формуле:

     

.

     

     Определим табличное (критическое) значение - критерия, задавшись доверительной вероятностью 0,94 и вычислив число степеней свободы по формуле:

     

,

где k – число интервалов после объединения.

     Получаем:

     

     Т.к. , следовательно, с вероятностью 0,94 гипотеза о нормальности распределения вероятности результата измерения не принимается. 

     5. Представление результата в виде доверительного интервала.

     Определим стандартное отклонение среднего арифметического по формуле:

     

.

     

.

     Закон распределения вероятности для среднего арифметического считается неизвестным, тогда относительный доверительный интервал рассчитывается в соответствии с неравенством Чебышева: