6.2.Критерий согласия Колмогорова- Смирнова

В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова - Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.

Критерий Колмогорова — Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из основных и наиболее широко используемых непараметрических методов, так как достаточно чувствителен к различиям в исследуемых выборках.

Эмпирическая функция распределения (ЭФР) случайной величины , построенная по выборке , имеет вид:

где указывает, попало ли наблюдение X_i в область :

Статистика критерия для эмпирической функции распределения  определяется следующим образом:

где  — точная верхняя грань множества .

Обозначим нулевую гипотезу , как гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению . Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

Учтём, что критерий имеет правостороннюю критическую область.

Правило (параметрический критерий Колмогорова). 
Если статистика превышает квантиль распределения Колмогорова заданного уровня значимости , то нулевая гипотеза (о соответствии закону ) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне .

Если  достаточно велико, то можно приблизительно рассчитать по формуле:

Асимптотическая мощность критерия равна 1.

Обозначим теперь за нулевую гипотезу гипотезу о том, что две исследуемые выборки подчиняютсяодному распределению случайной величины. .

Теорема Смирнова. 
Пусть — эмпирические функции распределения, построенные по независимым выборкам объёмом n и m случайной величины ξ. Тогда, если , то , где .

Теорема Смирнова позволяет использовать данный критерий для проверки двух выборок на однородность.

Правило (непараметрический критерий Колмогорова). 
Если статистика превышает квантиль распределения Колмогорова заданного уровня значимости , то нулевая гипотеза (об однородности выборок) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне .

Заключение.

     Итак, статистическое правило, по которому принимается или отвергается статистическая гипотеза о том, что исследуемая случайная величина подчиняется заданному эмпирическому закону распределения, построенному на основе наблюдений, имеющихся в распоряжении исследователя.

     Закон, на соответствие которому проверяется  эмпирическое распределение, называют гипотетическим. Задача заключается в проверке соответствия эмпирического и гипотетического законов распределения. При этом выдвигаются две статистические гипотезы: нулевая и альтернативная. Первая утверждает, что различие между эмпирическим и гипотетическим законами (например нормальным) значимо и, следовательно, рассматриваемую случайную величину с большой вероятностью нельзя считать нормально распределенной. Вторая же предполагает отсутствие значимых отличий, а значит и согласованности эмпирического и гипотетического распределений. Таким образом, критерий согласия, как и другие статистические критерии, должен подтвердить или отвергнуть нулевую гипотезу.

     Задача  проверки соответствия эмпирических распределений  гипотетическим очень важна. Выдвигая гипотезу о согласии нашего эмпирического распределения известному гипотетическому, исследователь фактически выбирает статистическую модель исследуемого процесса, которую он будет использовать при его анализе. Если, например, критерий покажет, что закон распределения, построенный по наблюдаемым значениям исследуемой величины, согласуется с нормальным, то можно считать, что она является нормально распределенной. Это очень важно при применении статистических методов анализа, поскольку во многих из них используется предположение о нормальности распределения исследуемых величин (например, линейная и логистическая регрессии, байесовская классификация и т.д.).

Глоссарий.

Генеральная совокупность - полная совокупность объектов, имеющих отношение к изучаемой проблеме.

Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или

Критическая область – совокупность значений статистики критерия, которые «говорят», что нулевую гипотезу следует отвергнуть.

Критические точки – точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Эмпирическое  распределение - распределение выборки, т. е. распределение вероятностей, которое определяется по выборке для оценивания истинного распределения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы.

1. Громыко Г.Л. Теория статистики.– М.: ИНФРА-М, 2002.
2. Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики.– М.: Финансы и статистика, 2002.
3. В.В. Жикаренцев «Жизнь без границ», 1999г
4. Крамер Г. Математические методы статистики (2-е изд.). М.: Мир, 1986