Нормальный закон распределения

   Министерство  сельского хозяйства и продовольствия РБ

   УО  «Гродненский государственный аграрный университет» 
 
 
 
 
 

   Реферат на тему:

   «Нормальный закон распределения» 
 
 
 

   Подготовила студентка 

   экономического  факультета

   2 курса 1 группы

   Шапель  Христина Валерьевна 
 
 
 
 

   Гродно 2011

   Нормальный  закон распределения (закон  Гаусса) 

Нормальным  называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности.

Нормальный  закон распределения также называется законом Гаусса.           

 Нормальный  закон распределения занимает  центральное место в теории  вероятностей. Это обусловлено тем,  что этот закон проявляется  во всех случаях, когда случайная  величина является результатом  действия большого числа различных  факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры  и, входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.           

 Найдем функцию  распределения F(x).           

 График  плотности нормального распределения  называется нормальной кривой или кривой Гаусса.           

 Нормальная  кривая обладает следующими свойствами:            

1) Функция  определена на всей числовой  оси.           

2) При  всех х функция распределения принимает только положительные значения.           

3) Ось  ОХ является горизонтальной асимптотой  графика плотности вероятности,  т.к. при неограниченном возрастании  по абсолютной величине аргумента  х, значение функции стремится к нулю.            

4) Найдем  экстремум функции.           

 Т.к.  при y’ > 0 при x<m и y’ < 0 при x>m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный.           

5) Функция  является симметричной относительно  прямой х = а, т.к. разность

(х – а)  входит в функцию плотности распределения в квадрате.           

6) Для  нахождения точек перегиба графика  найдем вторую производную функции  плотности.           

 При  x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.           

 В  этих точках значение функции  равно. 

   Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины выражается формулой

         (1) 

   Кривая  распределения симметрична относительно точки (точка максимума). При уменьшении ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы.

      Нормальный закон распределения  широко применяется в задачах  практики. Объяснить причины этого  впервые удалось Ляпунову. Он  показал, что если случайная  величина может рассматриваться  как сумма большого числа малых  слагаемых, то при достаточно  общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых. А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения. Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия): 

 

   Таким образом, параметры  и в выражении (8.1) нормального закона распределения представляют собой математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Принимая это во внимание, формулу (1) можно представить следующим образом:

 
 

   Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины. Таким образом, математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину. Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения. 

   Характеристическая  функция нормального распределения  случайной величины задаётся формулой 

 
 
 

   Пример 1. Найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина удовлетворяет неравенству . 

   Решение. Используя свойство  плотности вероятности получаем 

Положим , тогда 

 
где — функция Лапласа

   Выполним  некоторые числовые расчёты. Если положить в условии примера 1, то 

 

   Последний результат означает, что с вероятностью, близкой к единице (0,9973), случайная  величина, подчиняющаяся нормальному  закону распределения, не выходит за пределы интервала  . Это утверждение называют правилом трёх сигм. 

   Наконец, если , то случайная величина, распределённая по нормальному закону с такими параметрами, называется стандартизированной нормальной величиной. На рис. 18 изображён график плотности вероятности этой величины