Корреляция

Корреля́ция (корреляционная зависимость) — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

Некоторые виды коэффициентов  корреляции могут быть положительными или отрицательными (возможна также  ситуация отсутствия статистической взаимосвязи  — например, для независимых случайных  величин). Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть отрицательным; положительная корреляция в таких условиях — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть положительным.

Коэффициент корреляции

Коэффицие́нт корреля́ции или парный коэффицие́нт корреля́ции в теории вероятностей и статистике — это показатель характера взаимного стохастического влияния изменения двух случайных величин. Коэффициент корреляции обозначается латинской буквой R в математической статистике (r в статистике) и может принимать значения от −1 до +1. Если значение по модулю находится ближе к 1, то это означает наличие сильной связи, а если ближе к 0 — связь отсутствует или является существенно нелинейной. При коэффициенте корреляции равном по модулю единице говорят о функциональной связи (а именно линейной зависимости), то есть изменения двух величин можно описать линейной функцией.

В различных прикладных отраслях (социологии, демографии, медицине, физике, химии, экономике и др.) приняты  разные границы интервалов для оценки тесноты и значимости связи. Коэффициент корреляции Пирсона

Для метрических  величин применяется коэффициент  корреляции Пирсона, точная формула  которого была введена Фрэнсисом Гальтоном:

Пусть X,Y — две  случайные величины, определённые на одном вероятностном пространстве. Тогда их коэффициент корреляции задаётся формулой: 

где cov — ковариация, D — дисперсия.

Развернутый вариант формулы: 

где  M— математическое ожидание.

Для графического представления  подобной связи можно использовать прямоугольную систему координат  с осями, которые соответствуют  обеим переменным. Каждая пара значений маркируется при помощи определенного символа. Такой график называется «диаграммой рассеяния».

Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, к  которой относятся переменные. Так, для измерения переменных с интервальной и количественной шкалами необходимо использовать коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если по меньшей мере одна из двух переменных имеет порядковую шкалу, либо не является нормально распределённой, необходимо использовать ранговую корреляцию Спирмена или τ (тау) Кендалла. В случае, когда одна из двух переменных является дихотомической, используется точечная двухрядная корреляция, а если обе переменные являются дихотомическими: четырёхполевая корреляция. Расчёт коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными не лишён смысла только тогда, когда связь между ними линейна (однонаправлена).

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Применяется для  выявления взаимосвязи между  количественными или качественными  показателями, если их можно ранжировать. Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кендалла: 

где S = P − Q.

P — суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с большим значением рангов Y.

Q — суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y. (равные ранги не учитываются!) 

Если исследуемые  данные повторяются (имеют одинаковые ранги), то в расчетах используется скорректированный коэффициент  корреляции Кендалла: 
 
 

t — число связанных рангов в ряду X и Y соответственно

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Каждому показателю X и Y присваивается ранг. На основе полученных рангов рассчитываются их разности d и вычисляется коэффициент корреляции Спирмена: 

Коэффициент корреляции знаков Фехнера

Подсчитывается количество совпадений и несовпадений знаков отклонений значений показателей от их среднего значения. 

U — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних совпадают.

V — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних не совпадают.

Коэффициент множественной  ранговой корреляции (конкордации) 
 

m — число групп, которые ранжируются.

n — число переменных.

Rij — ранг i-фактора у j-единицы.

Значимость: 
 

Биссериальный коэффициент

Свойства коэффициента корреляции

Неравенство Коши —  Буняковского:

если принять в  качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию (X,Y)=cov, то норма случайной величины будет равна , и следствием неравенства Коши — Буняковского будет: 

Коэффициент корреляции равен   тогда и только тогда, когда X и Y линейно зависимы (исключая события нулевой вероятности, когда несколько точек «выбиваются» из прямой, отражающей линейную зависимость случайных величин): 

Где k,b Более того в этом случае знаки и k совпадают: 

Если X,Y независимые случайные величины, то . Обратное в общем случае неверно.