Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

Раздел I

3. В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделен на 2 равные  части. Какова вероятность того, что в каждой части по 5 отличников?

Решение:

Общее число  возможных исходов деления класса равно числу способов, которыми можно  отобрать 20 учеников из 40, то есть

Определим число  исходов, благоприятствующих интересующему  событию А (среди 20 учеников 5 отличников). 5 отличников можно отобрать из 10 отличников способами. Остальные 15 (20-5) человек должны быть из числа не отличников 40-10=30, то есть отобрать 15 учеников из 30 способами.

 

Ответ: Вероятность  того, что в каждой части по 5 отличников равна 0,2836.

 

Раздел II

3. Трое поочередно  бросают монету. Выигрывает тот,  у которого раньше выпадет  герб. Определите вероятности выигрыша  для каждого из игроков.

Решение:

Пусть событие  А_i – выпадение герба у первого игрока в i-м броске.

В_i – выпадение герба у второго игрока в i-м броске.

С_i – выпадение герба у третьего игрока в i-м броске.

Вероятность выпадение герба на монете р = 1/2 , следовательно вероятность выпадение «цифры» q = 1/2.

Определим вероятность  выигрыша для первого игрока.

Вероятность того что у первого игрока с  первого броска выпадет герб:

Р(А₁)=р=1/2.

Вероятность того что у первого игрока со второго  броска выпадет герб:

Р(А₂)=(qqq)p=

Вероятность того что у первого игрока с  третьего броска выпадет герб:

Р(А₃)=(qqq) (qqq)p=

И так далее.

Имеем: данные вероятности независимы и составляют геометрическую прогрессию (бесконечно убывающую), где b₁=1/2, q=1/8.

Согласно  формуле суммы n-членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии S= , получим:

Р(А)=

 

Для второго  и третьего игроков определяем вероятности  выигрыша аналогично.

Для второго  игрока:

Р(B₁)=qр=1/2*1/2=1/4.

Р(В₂)=(qqq)qp=

Р(В₃)=(qqq) (qqq)qp=

И так далее.

Для геометрической прогрессии: b₁=1/4, q=1/8.

Р(В)=

Для третьего игрока:

Р(С₁)=qqр=1/2*1/2*1/2=1/8.

Р(С₂)=(qqq)qqp=

Р(С₃)=(qqq) (qqq)qqp=

И так далее.

Для геометрической прогрессии: b₁=1/8, q=1/8.

Р(C)=

 

Ответ: Вероятность  того, что выиграет первый игрок  – 4/7, второй игрок – 2/7, третий игрок  – 1/7.

 

Раздел III

3. Из пяти стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0,6 и 3 – с вероятностью 0,4.

А) Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный  стрелок или нет?

Б) Наудачу  выбранный стрелок попал в  цель. Что вероятнее: принадлежит  он к первым двум или к трем последним?

Решение:

А) Пусть  событие А – наудачу выбранный стрелок попадет в цель.

Н₁ – стрелок выбран из первых двух.

Н₂ – стрелок выбран из последних 3-х.

Р(Н₁)=2/5, Р(Н₂)=3/5.

Заметим, что  случайное событие А может произойти только лишь с одной из гипотез (Н₁ или Н₂), они не совместимы и образуют полную группу событий. Значит используем формулу полной вероятности.

Р(А/Н₁)=0,6, Р(А/Н₂)=0,4 (из условия).

Вероятность того, что выбранный стрелок попадет  в цель:

Р(А)= Р(Н₁) Р(А/Н₁)+ Р(Н₂) Р(А/Н₂)=0,4*0,6+0,6*0,4=0,48.

Вероятность того, что выбранный стрелок не попадет в цель:

1-Р(А)=1-0,48=0,52.

Вероятнее, что наудачу выбранный стрелок  не попадет в цель.

Б) Выбранный стрелок попал в цель.

Вероятность того, что стрелок относится к  первым двум:

Вероятность того, что стрелок относится к  последним трем:

 

Ответ: а) вероятнее, что наудачу выбранный стрелок  не попадет в цель.

б) выбранный  стрелок может относится и к первым двум и к последним трем стрелкам с одинаковой вероятностью.

 

Раздел IV

3. Производится 4 независимых опыта, в каждом  из которых событие А происходит с вероятностью 0,3. Событие В наступает с вероятностью 1, если событие А произошло не менее двух раз; не может наступить, если событие А не имело места, и наступает с вероятность 0,6, если событие А имело место один раз. Найдите вероятность события В.

Решение:

р=0,3, q=1-0,3=0,7.

Пользуясь формулой Бернулли, получим:

1. Представим, что все опыты оказались неудачными и событие А не произошло, тогда и событие В не наступило:

.

2. Событие А наступило один раз, а В не наступило:

.

Во вех  остальных случаях событие В наступает с вероятностью 1, то есть всегда.

Так как опыты  независимы и составляют полную группу событий, воспользуемся формулой полной вероятности:

Р(В)=1-(0,2401+0,1646)=0,5953.

Ответ: Вероятность  наступления события В  составляет 0,5953.

Раздел V

3. Существуют ли предельные вероятности для цепи Маркова, управляемой матрицей перехода, (если да, то найдите их): А= .

Решение:

Теорема, в  которой формулируется достаточное  условие существования предельных (финальных) вероятностей, называется теоремой Маркова:

Пусть найдется натуральное число n₀ такое, что матрица перехода ⁽ⁿ⁾ за n шагов цепи Маркова имеет хотя бы один столбец, не содержащий нулевых элементов. Тогда:

1) для любого j = 1, . . . , s существуют финальные вероятности  , которые не зависят от номера i начального состояния;

2) вероятности  p_j ≥ 0, j = 1, 2, . . . , s, образуют распределение, т. е. ;

3) для любого j = 1, 2, . . . , s и для любого m = 1, 2, . . . имеет место равенство

.

 

Цепи Маркова  имеют один столбец, не содержащий нулевых  элементов.

Получим:

;

Заменим второе уравнение на .

Ответ: предельные вероятности существуют р₁=0, р₂=1.

 

Раздел VI

3. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеется 10 дефектных, выбраны случайным образом пять изделий для проверки качества. Построить таблицу распределения, многоугольник распределения, функцию распределения вероятностей случайного числа Х дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Решение:

Х – число дефектных изделий в выборке, может принимать значения 0,1,2,3,4,5.

Найдем вероятности:

Проверим: Р=Р(1)+Р(2)+Р(3)+Р(4)+Р(5)=1;

Р=0,583752+0,339391+0,070219+0,006384+0,000251+0,000003=1

 

Получим таблицу  распределения:

Таблица 1

Х	0	1	2	3	4	5
Р	0,583752	0,339391	0,070219	0,006384	0,000251	0,000003

 

Построим  многоугольник распределения:

Рис.1. Многоугольник  распределения.

 

Построим  функцию распределения числа  дефектных изделий:

Таблица 2

Х	0	1	2	3	4	5
F(x)	0,583752	0,923143	0,993362	0,999746	0,999997	1,000000

Х

F(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2. График функции распределения.

Раздел VII

3. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид

Решение:

Математическое  ожидание случайной величины рассчитывается по формуле:

.

Получим:

Так как подынтегральная  функция является нечетной: то имеем:

.

Дисперсия случайной  величины рассчитывается по формуле:

.

Так как подынтегральная  функция является четной:

 то получим:

Так как  , а то получим:

 

Ответ: М[Х]=0, D[X]=2.

 

 

 

Раздел VIII

3. Распределение 500 рабочих предприятия по времени, затраченному на обработку одной детали:

Таблица 3

Время, мин.	Число рабочих
4,0-4,5	4
4,5-5,0	14
5,0-5,5	55
5,5-6,0	92
6,0-6,5	160
6,5-7,0	96
7,0-7,5	66
7,5-8	11
8-8,5	2

А) установить гипотетический закон распределения случайной величины;

Б) найти  его параметры;

В) вычислить  гипотетические частоты;

Г) пользуясь  критерием согласия χ², установить, согласуются ли опытные данные с предположением о распределении случайной величины по избранному гипотетическому закону. Уровень значимости принять равным *) 0,05 и **) 0,005.

Решение:

Составим  статистический ряд, аналогичный данному  ряду.

Таблица 4

Среднее время, мин.	4,25	4,75	5,25	5,75	6,25	6,75	7,25	7,75	8,25
Число рабочих (ni)	4	14	55	92	160	96	66	11	2
Относительные частоты= ni/n	0,008	0,028	0,110	0,184	0,320	0,192	0,132	0,022	0,004

Построим  гистограмму:

Рис. 3.

По виду ступенчатой  фигуры можно предположить, что случайная  величина имеет нормальный закон  распределения. Плотность нормального  закона распределения имеет вид:

,

где ϭ – среднеквадратическое отклонение,

α – математическое ожидание.

Итак, выдвигаем гипотезу, что случайная величина изучается функцией плотности f(x):

Найдем гипотетические частоты:

n_г= n*P_i; Р_i=Ф(Z_i+1)-Ф(Z_i),

где Ф(Z) – интегральная функция Лапласа (значение определяется по таблице Лапласа).

Расчеты приведем в таблице:

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5

Время, мин. (х)	Середина интервала	Число рабочих	Zi	Zi+1	Pi	nг
4,0-4,5	4,25	4	-3,20	-2,49	0,006	2,85
4,5-5,0	4,75	14	-2,49	-1,79	0,030	15,17
5,0-5,5	5,25	55	-1,79	-1,08	0,103	51,67
5,5-6,0	5,75	92	-1,08	-0,37	0,216	107,81
6,0-6,5	6,25	160	-0,37	0,34	0,277	138,69
6,5-7,0	6,75	96	0,34	1,05	0,220	110,04
7,0-7,5	7,25	66	1,05	1,76	0,108	53,83
7,5-8	7,75	11	1,76	2,47	0,032	16,22
8-8,5	8,25	2	2,47	3,18	0,006	3,00
		500			1	1