Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РФ

Уральский государственный  экономический университет

Кафедра региональная экономика

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: Теория вероятности и математической статистики

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель: студентка гр.

 

 

 

Екатеринбург

 

 

Контрольная работа № 1

 

Задание 1.

 

По формуле сочетаний найдем количество различных сочетаний  по 3 элемента из 4 элементов по формуле:

Значит, всего число исходов  испытания равно  . Это исходы: , , , .

Событие А – из выбранных отрезков можно составить треугольник.

Найдем число исходов испытания, благоприятствующие событию А. Эти  исходы должны удовлетворять условию: сумма двух наименьших сторон должна быть больше третьей стороны.

Этому условию удовлетворяют только 2 исхода: , , т.е. .

По формуле классического определения  вероятности найдем вероятность  события А:

 

Задание 2.

 

Всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них правильная только одна.

Событие А – студенту придется звонить не более, чем в три  места, т.е. в одно место, или в  два места, или в три места:

В – студент позвонит в одно место, т.е. угадает цифру с первого  раза;

С – студент позвонит в два  места, т.е. угадает цифру со второго раза;

D – студент позвонит в три места, т.е. угадает цифру со третьего раза.

Значит, А=В+С+ D. Т.к. события несовместные, то

Р(А)= Р(В)+ Р(С)+ Р(D)

Найдем вероятности Р(В), Р(С), Р(D).

Тогда,

 

 

 

 

Задание 3.

 

Событие А – хотя бы один из 4-х взятых учебников – по математике.

Событие А осуществится, если произойдет одно из 2-х событий:

В – 4-х взятых учебников 1 будет  по математике;

С – 4-х взятых учебников 2 будет  по математике.

Значит, А=В+С. Т.к. события несовместные, то  Р(А)= Р(В)+ Р(С).

Общее число возможных исходов  испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 4 учебника из 20 учебников, т.е. .

По формуле сочетаний: , тогда

Число исходов, благоприятствующих событию  B: 1 учебник по математике можно взять из 2 учебников по математике способами, при этом остальные 3 учебника по не математике можно взять из 18 учебников не по математике способами, значит, .

Тогда, вероятность события А равна:

Число исходов, благоприятствующих событию  C: 2 учебника по математике можно взять из 2 учебников по математике способами, при этом остальные 2 учебника по не математике можно взять из 18 учебников не по математике способами, значит, .

Тогда, вероятность события А  равна:

Тогда искомая вероятность события  А равна:

 

Задание 4.

 

Событие А – в 10 поединках спортсмен  одержит больше 8 побед.

р – вероятность того, что спортсмен  победит;

q – вероятность того, что спортсмен проиграет.

р=0,6

q= 1–р = 1–0,6 = 0,4

По формуле Бернулли найдем вероятность  того, что в 10 поединках он одержит  больше 8 побед:

,  где 

Тогда,

 

Задание 5.

 

Обозначим события:

А – белый шар вынут из второй урны;

В – черный шар вынут из второй урны.

Возможны следующие гипотезы о  составе шаров во второй урне:

 – 6 белых и 5 черных шаров,  т.е. из первой урны переложили 2 белых шара;

 – 5 белых и 6 черных шаров,  т.е. из первой урны переложили 1 белый и 1 черный шар;

 – 4 белых и 7 черных шаров,  т.е. из первой урны переложили 2 черных шара.

Найдем вероятности этих событий:

Условные вероятности того, что  будет извлечен белый шар при  условии, что произошло событие , , соответственно равны:

Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:

Событие В является противоположным  событию А, тогда по формуле вероятности  противоположного события:

Следовательно, наиболее вероятно вынуть из второй урны шар черного цвета, т.к. .

 

Задание 6.

 

Х – число вскрытых ящиков.

Случайная величина Х имеет следующие  возможные значения: х₁=1, х₂=2,х₃=3.

Найдем вероятности возможных  значений величины Х:

Тогда, закон распределения случайной величины Х имеет вид:

хi	1	2	3
рi	0.6	0.3	0.1

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х найдем по формуле:

 

Дисперсию дискретной случайной величины Х найдем по формуле:

 

Среднее квадратичное отклонение случайной величины Х найдем по формуле:

σ(Х) =  

σ(Х) =

 

Задание 7.

 

 

 

1) Плотность распределения равна  первой производной от функции  распределения:

2) Найдем математическое ожидание  непрерывной случайной величины  Х по формуле:

\

Значит, М(Х) = 4/3.

 

3) Найдем дисперсию непрерывной  случайной величины Х по формуле:

 

4) Найдем среднее квадратичное  отклонение случайной величины  X по формуле:

σ(Х) =

σ(X)

 

5) Найдем вероятность попадания Х в промежуток от х₁=–1  до х₂=1 по формуле:

     или     

    

 

6) Построим графики функций  и .