Классификация рядов динамики

                                     .                                         (2)

     Абсолютный  прирост может иметь и отрицательный  знак, показывающий, насколько уровень  изучаемого периода ниже базисного.

     Между базисными и абсолютными приростами существует связь: сумма цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту последнего ряда динамики :                    

                                                                                 (3)

     Ускорение – разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период равной длительности:

                                     .                                    (4)

     Показатель  абсолютного ускорения применяется только в цепном варианте, но не в базисном. Отрицательная величина ускорения говорит о  замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда.

     Темп  роста – распространенный статистический показатель динамики. Он характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

• Базисные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за постоянную базу сравнения :                 .                                              (5) 
• Цепные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень :

                                         .                                             (6)

     Если  темп роста больше единицы (или 100%), то это показывает на увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным. Темп роста, равный единице (или 100%), показывает, что уровень изучаемого периода по сравнению с базисным не изменился. Темп роста меньше единицы (или 100%) показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с базисным. Темп роста всегда имеет положительный знак.

     Между базисными и цепными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста, а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста.

     Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения.

• Базисный темп прироста вычисляется делением сравниваемого базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за постоянную базу сравнения :

                                    .                                            (7)

• Цепной темп прироста - это  отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню :

                                     = : .                                       (8)   

     Между показателями темпа роста и темпа  прироста существует взаимосвязь (формулы 9 и 10):

                                   (%) = (%) – 100.                                (9)            

                                   = - 1.                                              (10)           

     Формулы (7) и (8) используют для нахождения темпов прироста по темпам роста.

     Важным  статистическим показателем динамики социально-экономических процессов является темп наращивания, который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание во времени экономического потенциала.

     Вычисляются темпы наращивания Тн делением цепных абсолютных приростов на уровень, принятый за постоянную базу сравнения, :

                                     .                                               (11)          

     2.2 Средние показатели  в рядах динамики. 

     Для получения обобщающих показателей динамики социально-экономических явлений определяются средние величины: средний уровень, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста и пр.

     Средний уровень ряда динамики характеризует  типическую величину абсолютных уровней.

     В интервальных рядах динамики средний  уровень у определяется делением суммы уровней  на их число n:

                                              .                                            (12)

     В моментном ряду динамики с равноотстоящими  датами времени средний уровень определяется:

                               .                                  (13)

     В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень определяется:

                                              ,                                        (14)

     где – уровни ряда динамики, сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени .

     Средний абсолютный прирост представляет собой  обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Для определения среднего абсолютного прироста сумма цепных абсолютных приростов делится на их число n:

                                         .                                     (15)

     Средний абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням ряда динамики. Для этого определяется разность между конечным и базисным уровнями изучаемого периода, которая делится на m – 1 субпериодов:

                                            .                                     (16)

     Основываясь на взаимосвязи между цепными  и базисными абсолютными приростами, показатель среднего абсолютного прироста можно определить:

                                         .                                             (17)

     Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики. Определение среднего темпа роста :

                            ,                                (18)

     где Тр1, Тр2, ... , Трn - индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n - число индивидуальных темпов роста.

     Средний темп роста можно определить и  по абсолютным уровням ряда динамики:

                                    .                                       (19)

     На  основе взаимосвязи между цепными  и базисными темпами роста  средний темп роста можно определить:

                                    .                                            (20)

     Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о средних темпах роста для получения средних темпов прироста используется зависимость:

                                             .                                        (21)

         

3. Проверка ряда на наличие тренда. Непосредственное выделение тренда.

     Изучение  тренда включает в себя два основных этапа:

1. Ряд динамики проверяется на наличие тренда;
2. Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов.

     Проверка  на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям:

1. Метод средних. Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина ( ). Выдвигается гипотеза о существенном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда.
2. Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура). Суть его заключается в следующем: наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).
3. Критерий Кокса и Стюарта. Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае, когда число уровней ряда не делится на три, недостающие уровни надо добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп.
4. Метод серий. По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов. В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов одинакового типа, с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).

          Если в ряду динамики общая тенденция к росту или снижению отсутствует, то количество серий является случайной величиной, распределенной приближенно по нормальному закону (для n > 10). Следовательно, если закономерности в изменениях уровней нет, то случайная величина R оказывается в доверительном интервале:

                                      .

     Параметр  t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р.

     Среднее число серий вычисляется:

                                     .                                              (22)

     Среднее квадратическое отклонение числа серий вычисляется:

                                    ,                                       (23) 

здесь n - число уровней ряда.

     Выражение для доверительного интервала приобретает  вид 

     

.

     Полученные  границы доверительного интервала округляют до целых чисел, уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю.

     Непосредственное  выделение тренда может быть произведено тремя методами:

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).
2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких  симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или четным (2,4,6 и т.д. точек).

     Недостаток  методики сглаживания скользящими  средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной. Так, при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается: