Интервальная оценка показателей надежности

Интервальная  оценка показателей  надежности

Количество статистических данных для оценки надежности, полученных в процессе эксплуатации, принципиально  ограничено. Полученные по ограниченному  объему информации точечные оценки могут  оказаться весьма приближенными. Причем отклонения этих оценок от истинного значения оцениваемого параметра являются величинами случайными. Очевидно, что с увеличением числа наблюдений (отказов) случайная ошибка оценки показателей уменьшается. На основе опытных данных используется специальная методика оценки показателей надежности в определенном интервале возможных их значений. Предположим, что истинное значение средней наработки до отказа составляет Т₀, а средняя наработка до отказа определена по полученным отказам:

где n - количество отказов  за время испытаний, t_i - наработка до i-го отказа. Чем меньше n тем больше расхождение между Т₀ и  , то есть существует интервал расхождения. Найти точные границы, в пределах которых находится истинное значение искомой величины, не представляется возможным. Однако можно определить интервал ее возможных значений с некоторой доверительной вероятностью  . При этом, чем больше доверительная вероятность b , тем шире границы интервала и наоборот. В общем виде эта зависимость имеет запись

где Т_н и Т_в - соответственно нижняя и верхняя границы средней наработки до отказа, где лежат  и Т₀.

Вероятность того, что  значение Т₀ выйдет за заданный интервал называется уровнем значимости:

Значения доверительных  вероятностей b обычно принимают равными 0,9; 0,95; 0,99. Соответствующие им уровни значимости составят 0,1; 0,05; 0,01. Доверительная вероятность b , определяемая выражением (1.1), характеризует степень достоверности результатов двусторонней (то есть с определением верхней и нижней границ) оценки.

Доверительный интервал для средней наработки до отказа при равных вероятностях a /2 выхода за правую (верхнюю) и левую (нижнюю) границы для экспоненциального распределения определяется по выражению

где  и  - значения  (хи-квадрат) при параметрах  и 1 -  ; 2r = k - число степеней свободы, для вероятностей P =  и Р = 1 -  соответственно.

Когда вычисляется только нижняя граница, то

В выражениях (1.3) и (1.4)  - суммарная наработка до отказа по отказам, зафиксированным во время эксперимента. Значения  определяются по таблице П-1 квантилей распределения  (хи-квадрат).

Таким образом, для  заданных уровней значимости a и числа степеней свободы k по таблице находят соответствующие значения , подставляют в выражение (1.3) и находят T_н и T_в. Величина a задается в зависимости от требований, предъявляемых к анализируемой системе. Как известно, для экспоненциального закона  и  , и выражения оценки надежности верхнего и нижнего значений вероятности безотказной работы имеют вид

Таблица 1.1  

Определение суммарной наработки для

соответствующих планов испытаний

Примечание:  - момент (время) r-го (последнего отказа), r - количество отказов;  - время j-го отказа, 1 £ j £ r.

Рассмотрим пример оценки T_н.

Пример. В результате наблюдений за эксплуатацией неремонтируемых  однотипных устройств зафиксированы 12 отказов. После двенадцатого отказа наблюдения прекращаются. Значения наработки до отказа (в часах): 58, 110, 117, 198, 387, 570, 610, 720, 798, 820, 840, 921.

Оценить среднюю наработку  до отказа заданного типа устройства, предполагая экспоненциальный закон  распределения времени наработки до отказа.

Решение.

Из условия задачи следует, что наблюдения организованы по плану (N, U, r); N = 100,  = 921 ч. В табл. 1.1 по указанному плану находим суммарную наработку всех устройств:

Точечная оценка средней  наработки до отказа

Зададимся доверительной  вероятностью b = 0,9, тогда a = 0,1. Ограничимся односторонней оценкой (T_н). Нижнюю доверительную границу T_н при a = 0,1 определим по выражению (1.4) и по прил. 1:

Можно с 90%-й уверенностью утверждать, что истинное значение средней наработки до отказа не ниже 4950 ч, и по этой оценке можно определять и другие показатели надежности,

.

Для определения T_н и T_в по выражениям (1.3) и (1.4) необходима суммарная наработка  . В табл. 1.1 приведены формулы вычислений суммарной наработки для наиболее распространенных планов проведения испытаний.