Автокорреляционная функция. Примеры расчётов

 

	АКФ(...)	Ошибка АКФ
1	-0,203	0,392	-0,392
2	-0,530	0,416	-0,416
3	-0,003	0,513	-0,513
4	0,637	0,513	-0,513
5	-0,087	0,627	-0,627
6	-0,423	0,629	-0,629
7	-0,028	0,673	-0,673

Пример 2. Импорт

Дано

 

год	квартал	номер	значение	разность
1999	I	1	3,10
	II	2	3,40	0,30
	III	3	3,33	-0,07
	IV	4	3,80	0,47
2000	I	5	3,20	-0,60
	II	6	3,60	0,40
	III	7	3,70	0,10
	IV	8	4,33	0,63
2001	I	9	3,60	-0,73
	II	10	4,43	0,83
	III	11	4,30	-0,13
	IV	12	5,17	0,87
2002	I	13	4,13	-1,03
	II	14	4,77	0,63
	III	15	5,20	0,43
	IV	16	5,97	0,77
2003	I	17	5,10	-0,87
	II	18	5,90	0,80
	III	19	6,33	0,43
	IV	20	7,23	0,90
2004	I	21	6,43	-0,80
	II	22	7,70	1,27
	III	23	8,17	0,47
	IV	24	9,08	0,92
2005	I	25	8,17	-0,92
	II	26	9,80	1,63
	III	27	10,50	0,70
	IV	28	12,47	1,97
2006	I	29	10,40	-2,07
	II	30	12,67	2,27
	III	31	14,20	1,53
	IV	32	17,10	2,90

 

Построим  автокорреляционную функцию

	АКФ(...)	Ошибка АКФ
1	0,802	0,211	-0,211
2	0,693	0,535	-0,535
3	0,585	0,637	-0,637
4	0,566	0,701	-0,701
5	0,423	0,756	-0,756
6	0,343	0,785	-0,785
7	0,255	0,803	-0,803
8	0,231	0,813	-0,813
9	0,131	0,822	-0,822
10	0,072	0,824	-0,824

 

 

 

Видим, что  есть автокорреляция 1-го и 2-го порядков. График показывает наличие тренда. Положительная автокорреляция объясняется  неправильно выбранной спецификацией, т.к. линейный тренд тут непригоден, он скорее экспоненциальный. Поэтому  сделаем ряд стационарным, взяв первую разность.

 

	АКФ(...)	Ошибка АКФ
1	-0,297	0,343	-0,343
2	0,309	0,390	-0,390
3	-0,420	0,420	-0,420
4	0,636	0,471	-0,471
5	-0,226	0,571	-0,571
6	0,214	0,583	-0,583
7	-0,311	0,593	-0,593
8	0,444	0,613	-0,613
9	-0,229	0,653	-0,653

 

 

Видим наличие  автокорреляции 4-го порядка, что соответствует  корреляции данных, отдаленных на год. Автокорреляцию первого порядка не имеем.

 

Статистика Дарбина-Ватсона (DW) =2,023

DW Up=1,500

DW Low=1,360

 

Пример 3. Экспорт

Приведем  данные

 

год	квартал	номер	значение	разность
2000	I	1	22,30
	II	2	22,80	0,50
	III	3	24,80	2,00
	IV	4	24,80	0,00
2001	I	5	25,50	0,70
	II	6	25,50	0,00
	III	7	25,90	0,40
	IV	8	26,20	0,30

 

2002	I	9	26,30	0,10
	II	10	28,60	2,30
	III	11	28,70	0,10
	IV	12	30,30	1,60
2003	I	13	30,50	0,20
	II	14	31,00	0,50
	III	15	33,80	2,80
	IV	16	36,40	2,60
2004	I	17	38,00	1,60
	II	18	41,40	3,40
	III	19	47,20	5,80
	IV	20	52,36	5,16
2005	I	21	52,50	0,14
	II	22	60,40	7,90
	III	23	65,70	5,30
	IV	24	67,40	1,70
2006	I	25	69,00	1,60
	II	26	76,60	7,60
	III	27	79,80	3,20
	IV	28	71,00	-8,80
2007	I	29	80,50	9,50

 

Для исходного  ряда имеем:

 

 

	АКФ(...)	Ошибка АКФ
1	0,896	0,165	-0,165
2	0,822	0,600	-0,600
3	0,712	0,739	-0,739
4	0,592	0,828	-0,828
5	0,483	0,884	-0,884
6	0,372	0,920	-0,920
7	0,261	0,941	-0,941
8	0,150	0,950	-0,950
9	0,062	0,954	-0,954

 

Очевидно  наличие четкого тренда, значимыми  являются коэффициенты автокорреляции 1-го и 2-го порядков. Для первой разности

 

	АКФ(...)	Ошибка АКФ
1	-0,173	0,372	-0,372
2	-0,090	0,389	-0,389
3	0,353	0,392	-0,392
4	0,240	0,435	-0,435
5	-0,106	0,454	-0,454
6	-0,088	0,457	-0,457
7	0,315	0,460	-0,460
8	-0,136	0,490	-0,490

---

 

 

 

Автокорреляции  уже не видим, остатки распределены как «белый шум».

 

Заключение

 

Другой  полезный метод исследования периодичности  состоит в исследовании частной  автокорреляционной функции (ЧАКФ), представляющей собой углубление понятия обычной  автокорреляционной функции. В ЧАКФ устраняется зависимость между  промежуточными наблюдениями (наблюдениями внутри лага). Другими словами, частная  автокорреляция на данном лаге аналогична обычной автокорреляции, за исключением  того, что при вычислении из нее  удаляется влияние автокорреляций с меньшими лагами. На лаге 1 (когда  нет промежуточных элементов  внутри лага), частная автокорреляция равна, очевидно, обычной автокорреляции. На самом деле, частная автокорреляция дает более "чистую" картину периодических  зависимостей.

Как отмечалось выше, периодическая составляющая для  данного лага k может быть удалена  взятием разности соответствующего порядка. Это означает, что из каждого i-го элемента ряда вычитается (i-k)-й  элемент. Имеются два довода в  пользу таких преобразований. Во-первых, таким образом можно определить скрытые периодические составляющие ряда. Напомним, что автокорреляции на последовательных лагах зависимы. Поэтому удаление некоторых автокорреляций изменит другие автокорреляции, которые, возможно, подавляли их, и сделает  некоторые другие сезонные составляющие более заметными. Во-вторых, удаление периодических составляющих делает ряд стационарным, что необходимо для применения некоторых методов  анализа.  

Литература

 

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1997.
3. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1994.
4. Мацкевич И.П., Свирид Г.П., Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике (Теория вероятностей и математическая статистика). Минск: Вышейша школа, 1996.
5. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И., Сафиулин Г.Г. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике / Самарск. экон. ин-т. Самара, 1992.
6. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И., Сафиулин Г.Г. Теория вероятностей и математическая статистика / Самарск. гос. экон. акад. Самара, 1994.
7. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И. Математика для экономистов. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. –М.: УМиИЦ «Учебная литература», 1998.