Тема  6. Анализ рядов распределения

      6.1. Показатели вариации.

      Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако два ряда распределения, имеющих  одинаковую среднюю арифметическую величину, могут значительно отличаться друг от друга по степени колеблемости (вариации) величины изучаемого признака. Если индивидуальные значения признака ряда мало отличаются друг от друга, то средняя арифметическая будет достаточно показательной характеристикой данной совокупности. Если же ряд распределения характеризуется значительным рассеиванием индивидуальных значений признака, то средняя арифметическая будет ненадежной характеристикой этой совокупности и ее практическое применение будет ограничено.

      Значение  показателей вариации заключается в следующем:

• показатели вариации дополняют средние величины, за которыми скрываются индивидуальные значения признаков вариационного ряда;
• показатели вариации характеризуют степень однородности статистической совокупности по изучаемому признаку;
• показатели вариации характеризуют границы колеблемости признака;
• соотношение показателей вариации характеризует взаимосвязь между признаками.

      Для измерения вариации признака в рядах распределения применяются различные абсолютные и относительные показатели. В статистике чаще всего применяются следующие показатели (меры) вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

      Рассмотрим  подробно каждый из перечисленных показателей  вариации.

      Размах вариации (размах колебаний) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака и определяется по формуле: 

             (6.1)

где  R – размах вариации;

      x_max – максимальное значение признака;

      х_min – минимальное значение признака.

      Пример. Наблюдения показывают, что скорость движения легковых автомобилей находится в диапазоне 20-90 км/ч., грузовых автомобилей – в пределах 20-80 км/ч., маршрутных автобусов – 20-60 км/ч., автобусов междугородних сообщений – 20-90 км/ч. Определим размах вариации скоростей этих видов транспорта. Расчет представлен в таблице 13.

      Таблица 6.1

Скорости  движения транспортных средств

      Безусловным достоинством этого показателя является простота его расчета, поэтому он не редко используется и в технике  и в экономике. Однако размах вариации зависит от величины только крайних значений признака, что делает в известной мере случайной его величину. Поэтому его целесообразно применять при изучении достаточно однородных статистических совокупностей.

      Более надежный показатель – средний размах вариации, вычисляемый как средняя арифметическая из ряда размахов, полученных в результате обработки равных серий наблюдений. Таким показателем, пользуются, например, при контроле качества продукции.

      Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая индивидуальных абсолютных отклонений значений признака от его среднего значения.

      Индивидуальные  значения признака в статистической совокупности отклоняются от его  средней величины в ту или иную сторону. Найдем среднюю меру отклонения каждого значения признака от его средней величины. Обозначим значения варьирующего признака у отдельных единиц совокупности через , где n – количество (число) единиц совокупности.

      Вычитая из каждого значения признака его среднюю величину получим: 

       ;   ;  ...     (6.2) 

      Так как алгебраическая сумма (сумма  с учетом знака (±) величин) отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической (согласно нулевому свойству) всегда равна нулю, то для расчета среднего линейного отклонения используется арифметическая сумма (сумма модулей величин) отклонений, т.е. суммируются абсолютные значения индивидуальных отклонений значений признака независимо от знака.

      Среднее линейное отклонение вычисляется для первичных, несгруппированных данных:

             (6.3)

      Для сгруппированных данных (интервальный ряд): 

             (6.4) 

где  х_i – индивидуальное значение i-гo признака;

        – центральное значение признака в i-ом интервале;

        – среднее значение признака;

      п - число единиц статистической совокупности;

      f_i – количество признаков в i-ом интервале;

      m – количество интервалов в интервальном вариационном ряду. 

      Пример. Проведем расчет среднего линейного отклонения сменной выработки токарей механического цеха, данные о которой представлены в таблице 6.2. 

      Таблица 6.2

Сменная выработка токарей механического  цеха завода

 

      Вычисляем среднюю арифметическую:

      Тогда среднее линейное отклонение составит:

      Это означает, что в среднем сменная  выработка каждого рабочего в  изучаемой совокупности отклонялась  от средней сменной выработки  в целом по цеху на 0,75.

      Среднее линейное отклонение – число всегда именованное. Его размерность соответствует размерности варьирующего признака.

      Простота  расчета и интерпретации результатов  составляют положительные стороны  данного показателя. Однако в результате абстрагирования от знака индивидуальных отклонений, возникают трудности в применении математических методов анализа вариации. Математические свойства модулей «плохие»: их нельзя поставить в соответствие с каким-либо вероятностным законом, в том числе и с нормальным распределением, наиболее часто ветречающимся в экономике, в технике, в жизни. По этой причине среднее линейное отклонение в настоящее время используют редко, но используют. Например, для оценки однородности толщины нитей и пряжи в текстильной промышленности.

      Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из среднего квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической и рассчитывается по следующим формулам:

      для не сгруппированных данных:

            (6.5)

      для сгруппированных данных:

            (6.6)

      для интервального ряда:

            (6.7)

      Возведение  индивидуальных отклонений в квадрат  и последующее извлечение квадратного  корня вызвано, как уже говорилось, тем, что суммирование отклонений в  первой степени приводит к нулевому результату.

      Среднее квадратическое отклонение является общепринятым показателем вариации: при его  определении принимаются в расчет все отклонения значений варьирующего признака от среднего. Проиллюстрируем расчет среднего квадратического отклонения для ранжированного и интервального вариационных рядов.

      Пример. Пусть испытываются шесть лампочек на продолжение горения. Результаты испытания представлены в табл. 6.3 (дискретный вариационный ряд). 

      Таблица 6.3

Результаты  испытаний лампочек

 

      Рассчитаем  среднюю арифметическую и среднее квадратическое отклонение:

      Это означает, что в среднем продолжительность горения лампочки в изучаемой совокупности отклонялась от средней продолжительности в целом по совокупности на 14,3 часа.

      Пример. Рассчитаем среднее квадратическое отклонение срока обращения облигаций. Исходные данные для расчета и промежуточные вычисления представлены в табл. 6.4 (интервальный вариационный ряд).

      Рассчитаем  среднюю арифметическую величину срока обращения акций и среднее квадратическое отклонение:

; 

      Таблица 6.4

Срок  обращения облигаций