Алгоритмы генерации случайных величин с различными распределениями

Вероятностная мера
Распределение
Параметры	t – положительное целое число,
Область	{0,1,…t}

Рис. 3.3 Вероятностные меры bin(t,p) :

a – при t=5,p=0,1; б – при  t=10,p=0,1; в – при  t=5,p=0,5; б – при  t=10,p=0,5

 

Чтобы генерировать случайную величину с распределением bin(t,p), вспомним, что сумма t независимых и одинаково распределенных величин с распределением Bernoulli(p) имеет распределение bin(t,p). Таким образом можем вывести следующий алгоритм.

1. Генерируем как независимые и одинаково распределенные случайные величины с распределением Bernoulli(p).
2. Возвращаем

 

 

4. Геометрическое распределение(Geom(p))

Вероятностная мера
Распределение
Параметры
Область	{0,1,…}

Рис.3.5 Вероятностная мера geom(p): a – при p=0,25; б – при p=0,50

 

1. Генерируем U – U(0,1).
2. Возвращаем

Стоит отметить, что если значение p близко к 0, ln(1-p) также будет близко к нулю,  поэтому следует подумать об арифметических вычислениях с двойной точностью, чтобы избежать чрезмерной ошибки округления при делении на шаге 2. Для значения p, близкого к 1, ln (1-p) будет большим отрицательным числом, что может вызвать трудности вычислений; для больших p эффективнее использовать другой алгоритм, основанный на соотношении между случайными величинами с геометрическим распределением и распределением Бернулли.

 

 

5. Отрицательно биномиальное распределение (negbin(s,p))

Вероятностная мера
Распределение
Параметры	s- положительное целое число,
Область	{0,1,…}

Рис.3.6 Вероятностная мера negbin(s,p)

a:  s=2, b: s=5

 

1. Генерируем  , как независимые и одинаково распределенные случайные величины с распределением geom.(p).
2. Возвращаем

Время выполнения данного алгоритма  пропорционально величине s. При больших значениях s следует обратить внимание на альтернативный метод, который позволяет использовать специальные соотношения между отрицательным биномиальным распределением, гамма-распределением и распределением Пуассона. Эффективность этого алгоритма зависит от возможности быстро генерировать величины из гамма-распределения и распределения Пуассона.

 

 

6. Распределение Пуассона (Poisson(λ))

Вероятностная мера
Распределение
Параметры	λ>0
Область	{0,1,…}

 

Рис.3.6 Вероятностная мера Poisson(λ):

a – при λ=0,5; б – при λ=1; в – при λ=2; г – при λ=6

 

Алгоритм для генерирования  случайных величин с распределением Poisson(λ) основывается на соотношении между распределением Poisson(λ) и expo(1/ λ). Он имеет следующий вид:

1. Принимаем , b=1 и i=0.
2. Генерируем и заменяем b на . Если b<a, возвращаем X=i. В противном случае переходим к шагу 3.
3. Заменяем i на i+1 и возвращаемся к шагу 2

Алгоритм будет доказан, если иметь  в виду, что X=i, тогда и только тогда, когда

, где  expo(1/ λ), а величины являются независимыми, то есть ,так что X – Poisson(λ).

С увеличением значения λ этот алгоритм начинает работать медленнее, поскольку большое значение λ приводит к тому что будет меньше, и нам потребуется выполнять больше действий на шаге 2, чтобы сделать , меньше a. (На самом деле, поскольку X на 1 меньше, нежели нужное число , ожидаемое число выполняемых действий на шаге 2 равно E(X)+1=λ+1,так что время выполнения линейно увеличивается с возрастанием значения λ). В качестве альтернативы можно использовать метод замещений в комбинации с методом композиции (так как X имеет бесконечную область значений).

 

 

4. Эмпирическая функция распределения

 

Пусть задана случайная выборка  наблюдений , причем .  Построим по выборке ступенчатую функцию , возрастающую скачками величины в точках . Построенная функция называется эмпирической функцией распределения.

Рис. 4.1 Функция  непрерывного кусочно-линейного эмпирического распределения, полученного из исходных данных

 

Один очевидный недостаток определения  такого эмпирического распределения состоит в том, что случайные значения, сгенерированные из него в ходе имитационной модели, никогда не могут быть меньше или больше .

 

 

5. Гистограммы

В отношении набора непрерывных  данных гистограмма является по существу графической оценкой графика плотности распределения вероятностей,  соответствующей распределению данных  . Плотности распределения вероятностей, показанные на рис. 2.1-2.16 во многих случаях стремятся к узнаваемым формам. Поэтому графическая оценка плотности может быть хорошей подсказкой в выборе распределений, которые можно попробовать использовать как модель данных.

      Для того, чтобы создать гистограмму разобьем область значений, которая перекрывается данными, на k непересекающихся интервалов . Все интервалы должны иметь одинаковую ширину, например . Пусть будет долей величин , которые входят в j-интервал , для j=1,2,..k.

      Затем кусочно-постоянный график функции h сравним с графиками плотностей различных распределений только на основания их форм (расположение и различия масштабов не учитываются) – это позволит увидеть, какие распределения имеют графики плотности, напоминающие гистограмму h.

     Чтобы понять, почему форма h должна напоминать истинную плотность данных f, допустим, что X – случайная величина с плотностью f , при этом X распределена как величины . Тогда для любого постоянного j (j=1,2,..k)

 

для некоторого числа  . (Первое уравнение выводится по определению непрерывной случайной величины, а второе – из теоремы о среднем значении.) С другой стороны, вероятность того, что Х попадет в j интервал, приблизительно определяется , которая является значением h(y). Следовательно, .

    Гистограммы применимы к любым непрерывным распределениям и обеспечивают легко интерпретируемый визуальный обзор данных. Более того, визуально достаточно просто отнести гистограмму к определенной плотности распределения вероятностей. Однако у этого подхода есть недостатки. Наиболее серьезный состоит в отсутствии четких указаний относительно выбора числа интервалов k.

 

 

 

 

Заключение

 

В данной курсовой работе были рассмотрены  непрерывные и дискретные  распределения  вероятностей случайных величин, а  также алгоритмы их построения. В каждом распределении были приложены графики их плотностей, даны комментарии по составлению алгоритма, а также выведены  некоторые свойства для установления связи между различными распределениями.

В результате работы  был создан программный продукт в среде  Delphi 7.0, где все данные алгоритмы были успешно реализованы. Помимо этого для каждой  выборки сгенерированных случайных величин, в программе построены эмпирические плотность (гистограмма) и функция распределения, что позволяет нам убедиться в том, что алгоритмы генерирования случайных величин верны.