Агрегатные индексы. Система индексов

10.3. Агрегатные индексы.  Система индексов  

Мы познакомились  с построением сводных индексов на основе индивидуальных. Однако возможен и другой путь. Обратимся к формулам индексов Ласпейреса (10.5) и Пааше (10.7). Эти индексы могут быть рассчитаны на основе данных о количестве проданных товаров в базисном и отчетном периоде (по каждому j-му товару) q0j и q1j и ценах – р1j и р0j. Такие индексы принято называть агрегатными. Так же можно построить и Iq  не через осреднение индивидуальных индексов, а на основе сравнения двух сумм (агрегатов), см. (10.7).

Агрегатные  индексы считаются основной формой индексов. Они выполняют две функции: синтетическую и аналитическую. Первая функция обеспечивается тем, что в одном индексе обобщаются (синтезируются) непосредственно несоизмеримые  явления. Например, цены на разные товары или разные товары, абсолютно не сопоставимые между собой в натуральном  выражении. Когда мы записываем 

                       , 

то благодаря  использованию ценового соизмерителя можно агрегировать данные по различным товарам.

Вторая  функция - аналитическая - следует из взаимосвязи индексов. Дело в том, что практически каждый индекс можно  рассматривать как составляющую некоей системы индексов, в которой  его роль сводится к измерению  одного из факторов общего изменения  сложного явления и вклада этого  фактора в совокупное изменение. Так, например, индекс цен можно рассматривать  как показатель влияния изменения  цен на выручку от продажи. Такая  трактовка опирается на следующую  связь признаков:

количество  × цена = выручка (или затраты на покупку), т. е. 

qp = w.                                                (10.9) 

Системе признаков соответствует система  индексов (т. е. показателей их изменений). Исходя из этого можно записать:  

                                      (10.10) 

Обратите  внимание: эта запись соответствует  трактовке индекса как метода анализа. Когда мы указываем Iw(q) или  Iw(p)  то имеем в виду измерение общего изменения результативного явления (в данном случае w) за счет одного из факторов (q или р). Конечно, можно ограничиться записью Iq и ip - ничего не изменится по существу.

При построении агрегатных индексов удобно пользоваться такими понятиями, как «индексируемый признак» и «признак-вес». Индексируемый - это признак, изменение которого характеризует данный индекс. Например, в Iq - это q, в ip – это p. Значение индексируемого признака изменяется: отчетное значение сопоставляется с базисным.

Признак-вес  выполняет функцию веса по отношению  к индексируемому признаку; его значение в данном индексе принимается  неизменным, так как он не должен искажать оценку изменения индексируемого признака. В Iq признаком-весом является р, а в Ip - q.

Индексируемый признак можно назвать фактором изменения общего результата, а признак-вес - характеристикой условий, в которых  оценивается это изменение.

Если  индексы рассматриваются в системе, то должна обеспечиваться взаимосвязь  между ними. Например, в соответствии с (10.9) должно выполняться равенство 

                                               (10.11) 

Обратимся к формулам (10.11). Каждый из индексов показывает, как изменился тот  или иной фактор при неизменности прочих условий: и в формуле индекса  Iq и в формуле Ip веса закреплены на базисном уровне. Это обеспечивает сопоставимость оценок изменений факторов. Однако равенство (10.11) не обеспечивается или, как говорят иначе, не обеспечивается увязка индексов в систему: 

                        

То же происходит, если все индексы будут  построены с отчетными весами:  

                        

Только  когда взаимосвязанные индексы  строятся с весами разных периодов, увязка их в систему выполняется:  

                                                      (10.12) 

или 

                                                      (10.13) 

Из этих двух вариантов отечественная статистика долгое время отдавала предпочтение второму. Соответственно существовало правило определения периода  весов: индексы первичных признаков  строятся на весах базисного периода, вторичных - на весах отчетного периода. Это правило признавало неравное значение признаков в системе: первичный  признак выступает как основа формирования нового (отчетного) значения результативного признака w1. Этим объясняется  то, что индекс первичного признака (например, Ip) оценивает изменение этого признака при сохранении базисных условий, тогда как изменение вторичного признака оценивается уже в изменившихся условиях, когда первичный признак принял значение отчетного периода.

Рассмотрим  на примере, как влияет использование разных значений признака-веса на величину индекса (табл. 10.5). 

Таблица 10.5

Данные  о продаже продуктов на городском  рынке за месяц 

 

В обоих  вариантах получены показатели снижения объема продажи и роста цен, но в первом случае объем продажи  снизился на 3,58%, цены повысились на 3,7%, а во втором - снижение объема продажи  на 3,7% и рост цен на 3,78%. Следуя статистической логике, можно сказать, что точечные оценки в принципе невозможны; можно  говорить лишь о поле или интервале  оценок: для объема продажи - снижение от -3,58% до - 3,7%; для цен - рост от 3,7% до 3,78%.

Однако  в практическом использовании индексов стремятся получить однозначное  решение тем или иным способом. Первый путь - получение средних  оценок изменений: либо в форме индексов, построенных на средних весах:  

                

либо  через осреднение разновзвешенных индексов. При этом предпочтение отдается средней геометрической:  

                                                              (10.14) 

Второй  путь основан на предпочтении какого-то одного варианта построения взаимосвязанных  индексов. Как уже отмечалось, в  отечественной статистике был принят второй вариант. Но при этом возникала  несопоставимость оценок изменений  признаков. Поэтому делалась попытка  построения всех взаимосвязанных индексов на весах одного периода - базисного:   

                                                      (10.15) 

Понятно, что в этом случае не выполняется  увязка индексов в систему:  

                        

Изолированная оценка изменения каждого фактора  при неизменности другого приводит к недоучету эффекта совместного  изменения факторов. Скажем, вы смотрите движущееся изображение без звука  или слушаете звуковое сопровождение  без изображения, и в том, и  в другом случае воздействие меньше, чем при соединении изображения  и звука. Наглядно это можно показать с помощью особого вида плоскостной диаграммы, известной в отечественной статистике как «знак Варзара» (по имени русского статистика В. Е. Варзара (1851-1940) (см. рис. 10.1).                     

 

Результативное  явление представлено здесь в  виде прямоугольника, площадь которого в базисном периоде  , в отчетном - . Переход от базисного состояния к отчетному формируется за счет изменения фактора , изменения фактора и совместного изменения обоих факторов :  

                                              (10/16) 

В статистической науке выработано множество версий такого разложения: 1) выделение эффекта  взаимодействия факторов в самостоятельный  член; 2) присоединение его к какому-либо одному фактору (т. е. построение какого-либо из индексов на весах отчетного периода); 3) разделение эффекта взаимодействия факторов и присоединение к изменениям факторов - поровну, либо пропорционально  значениям индексов факторов, либо еще по какому-то принципу. Вы можете тоже попытаться предложить свое решение - актуальность проблемы сохраняется.

В. И. Борткевич (1868-1931) вывел формулу, объясняющую различие между индексами с разными весами:                        

   

Точно так же можно выразить соотношение  между индексами фактора q с разными весами. Из формулы (10.17) ясно, что индексы с отчетными и базисными весами будут равны, если выполняется хотя бы одно из условий: или корреляция между изменениями цен и объема продажи на отдельные товары отсутствует, = 0; или темпы изменения объемов товаров всех видов будут oдинаковы, = 0; или темпы изменений цен на все товары будут одинаковы, = 0. Чем большая дистанция разделяет сравнимые периоды, тем сильнее проявляются все отмеченные факторы различий между индексами с разными весами.

Ничего  не меняется, если результативный признак  включает более двух факторов, т. е. в случае мультипликативной модели:  

                      y = x1 ·x2…..xk 

Если  придерживаться концепции неравноправия  факторов и строить индексы с  разными весами, то все зависит  от принятой последовательности факторов в системе. Например, общие затраты  на кожу для изготовления женских  туфель можно представить как  w = qlp, где q - количество пар туфель; l - средний расход кожи на одну пару; р - цена кожи. Первым стоит фактор q как первичный, с которого и начинаются все изменения. Тогда индексы будут иметь вид: 

                              (10.18) 

Здесь используется то же правило выбора весов, которое было сформулировано выше. Признаки, стоящие слева от индексируемого признака, трактуются по отношению к нему как первичные  и закрепляются на отчетном уровне (они «уже» изменились), стоящие  справа от него трактуются как вторичные  и закрепляются на базисном уровне (они как бы «еще» не изменились). К этому добавляется условие  содержательной интерпретации при последовательном объединении признаков слева направо. Скажем, произведение ql имеет экономический смысл — это расход кожи на весь объем производства туфель, при перестановке признаков q, р, l произведение qp экономического смысла не имеет. На таком подходе основан метод цепных подстановок, широко используемый в экономическом анализе. \